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Tópicos: Teoremas de Pappus-Guldin |

1) Teoremas de Pappus-Guldin

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São assim denominados porque foram originalmente descobertos pelo matemático grego Pappus de Alexandria e redescobertos na Europa por Paul Guldin.

Teorema 1 - A área S de uma superfície de revolução é dada por:

$$S = s\ d \tag{1A}$$
Onde s é o comprimento da curva geratriz e d é a distância percorrida pelo centroide dessa curva em uma rotação completa.

Teorema 2 - O volume V de um sólido de revolução é dado por:

$$V = S\ d \tag{1B}$$
Onde S é a área da superfície geratriz e d é a distância percorrida pelo centroide dessa área em uma rotação completa.

Exemplo 1-I: determinar a área da superfície de um toroide.

Toroide
Fig 1-I

Seja a ilustração da Figura 1-I. O toroide é gerado pela revolução de uma circunferência de raio r. Portanto, o comprimento da curva é 2 π r. O centroide (que é o centro dessa circunferência) percorre uma distância 2 π R para a geração. Aplicando então o Teorema 1,

$$S = 2 \pi r\ 2 \pi R = 4\ \pi^2\ r\ R \tag{1C}$$
Exemplo 1-II: determinar o centroide de uma semicircunferência.

Uma semicircunferência de raio R girando em torno de sua base gera uma superfície esférica de mesmo raio. A área da esfera é 4 π R2. O comprimento da semicircunferência é π R. Se y é a distância do centro para o centroide, ele percorre uma distância 2 π y para a geração. Segundo, (1A),

$$4 \pi R^2 = \pi R 2 \pi y\\\therefore y =\frac{2R}{\pi} \tag{1D}$$
Esse resultado confirma o dado na página anterior.


Exemplo 1-III: determinar o centroide de um semicírculo.

Uma esfera de raio R é gerada por um semicírculo de mesmo raio que gira em torno da sua base. O volume de uma esfera é (4/3) π R3. A área de um semicírculo é (1/2) π R2. Se y é a distância do centro para o centroide, ele percorre 2 π y para girar uma volta. Segundo (1B),

$$\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{1}{2} \pi R^2 2 \pi Y\\ \therefore y =\frac{4R}{3\pi} \tag{1E}$$
O resultado é idêntico ao informado na página anterior.
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, P. Ferdinand. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Jun/2018