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Seções Planas II

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Tópicos: Centroide para Três Dimensões | Centroides para Algumas Formas Geométricas |

1) Centroide para Três Dimensões

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Na página anterior, foi dada a formulação para as coordenadas do centroide de uma superfície. Para um corpo real de três dimensões, as fórmulas são similares, com integração no volume:

$$x_c = \frac{1}{V} \int_V x dV \quad y_c = \frac{1}{V} \int_V y dV \quad z_c = \frac{1}{V} \int_V z dV \tag{1A}$$

Para uma superfície em três dimensões, as fórmulas são:

$$x_c = \frac{1}{S} \int_S x dS \quad y_c = \frac{1}{S} \int_S y dS \quad z_c = \frac{1}{S} \int_S z dS \tag{1B}$$

Essas relações valem na prática para corpos reais (cascas) de espessura pequena e constante. Se a superfície é plana, uma coordenada é eliminada e as fórmulas são iguais às da página anterior.

Para linhas em três dimensões,

$$x_c = \frac{1}{\ell} \int_\ell x d\ell \quad y_c = \frac{1}{\ell} \int_\ell y d\ell \quad z_c = \frac{1}{\ell} \int_\ell z d\ell \tag{1C}$$

As fórmulas acima valem na prática para corpos reais (arames) de bitola pequena e constante.

Exemplo: determinar o centroide de um arame em forma de um quarto de circunferência de raio R conforme Figura 1-I.

Exemplo de cálculo de centroide
Fig 1-I

O comprimento da curva é ℓ = 2 π R / 4 = π R / 2. Desde que é plana, zC = 0. Usando as demais equações de (1C),

$$x_c = \frac{1}{\pi R / 2} \int_0^{\pi/2} R \cos \phi R d\phi = \frac{2R}{\pi}\\y_c = \frac{1}{\pi R / 2} \int_0^{\pi/2} R \sin \phi R d\phi = \frac{2R}{\pi} \tag{1D}$$


2) Centroides para Algumas Formas Geométricas

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Este tópico dá igualdades já desenvolvidas para alguma formas. Conforme visto em página anterior, há coincidência com o centro de gravidade para corpos de materiais homogêneos. Formas comuns com dois ou mais eixos de simetria (círculo, elipse, retângulo, etc) não são aqui apresentadas porque a localização é determinada diretamente pela interseção desses eixos.

Segmento circular

Segmento circular
Fig 2-I
$$x_c = 0\\y_c = \frac{4 R \sin^3(\phi/2)}{3(\phi - \sin \phi)} \tag{2A}$$
Para ϕ = π (semicírculo),

$$y_c = \frac{4 R}{3 \pi} \tag{2A1}$$
Segmento parabólico

Segmento parabólico
Fig 2-II

$$y = h \left(1 - \frac{x^2}{b^2} \right)\\x_c = 0\\y_c = \frac{2h}{5} \tag{2B}$$
Semicircunferência (referente à linha. Não é superfície)

Semicircunferência
Fig 2-III

$$x_c = 0\\y_c = \frac{2R}{\pi} \tag{2C}$$
Setor circular

Setor circular
Fig 2-IV

$$x_c = 0\\y_c = \frac{4 R \sin(\phi/2)}{3 \phi} \tag{2D}$$
Triângulo isósceles

Triângulo isósceles
Fig 2-V

$$x_c = 0\\y_c = \frac{h}{3} \tag{2E}$$
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, P. Ferdinand. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Jun/2018