Anotações & Informações | Fim pág | Voltar |

Seções Planas I

| Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Tópicos: Momento Estático, Centroide | Centro de Gravidade | Calculando Centroides por Composição |

1) Momento Estático, Centroide

(Topo | Fim pág)

Seja uma superfície plana genérica de área S conforme Figura 1-I. O momento estático em relação ao eixo X é dado por:

$$M_x = \int_S y dS \tag{1A}$$
E o momento estático em relação ao eixo Y é:

$$M_y = \int_S x dS \tag{1B}$$
Momento estático
Fig 1-I

A depender da posição do eixo em relação à superfície, o momento estático pode ser positivo, nulo ou negativo.

Rotação de eixos

Momento estático - Rotação de eixos
Fig 1-II

Se um sistema de coordenadas X1Y1 faz um ângulo α com um sistema XY e ambos têm a mesma origem (Figura 1-II), valem as relações:

$$M_{x_1} = M_x \cos \alpha + M_y \sin \alpha\\M_{y_1} = - M_x \sin \alpha + M_y \cos \alpha \tag{1C}$$
Translação de eixos

Momento estático - Translação de eixos
Fig 1-III

Se um sistema de coordenadas X1Y1 está deslocado (x1, y1) do sistema XY (Figura 1-III), valem as relações:

$$M_x = M_{x1} + y_1 S\\M_y = M_{y1} + x_1 S \tag{1D}$$
Centroide

Na translação de eixos, seja um sistema XCYC tal que:

$$M_{x_c} = M_{y_c} = 0 \tag{1E}$$
Centroide
Fig 1-IV

Substituindo em (1D) e considerando a definição em (1A) e (1B), chega-se a:

$$x_c = \frac{M_y}{S} = \frac{1}{S}\int_S x dS\\y_c = \frac{M_x}{S} = \frac{1}{S}\int_S y dS \tag{1F}$$
O ponto de origem C(xC, yC) é denominado centroide da seção. Os eixos que passam por esse ponto, XC e YC, são denominados eixos centrais. É possível demonstrar que, se uma seção tem um eixo de simetria, o centroide está sobre esse eixo. Se uma seção tem dois eixos de simetria, o centroide é a interseção desses eixos.

Exemplo: determinar o centroide da superfície sob a curva y = 4 − x2 no primeiro quadrante, conforme indicado na Figura 1-V.

Exemplo de cálculo de centroide
Fig 1-V

A área da superfície é:

$$S = \int_0^2 (4 - x^2) dx \approx 5,33$$
Considera-se agora, em um ponto genérico (x, y), uma faixa vertical de largura dx com elementos de altura dy conforme ilustração da figura. Para essa faixa, os momentos elementares dMx e dMy são dados por:

$$dM_x = \int_0^y (y dx) dy = \frac{y^2}{2} dx\\dM_y = \int_0^y (x dx) dy = x y dx$$
Integrando, substituindo o valor de y e resolvendo,

$$M_x = \int_S dM_x = \int_0^2 \frac{(4 - x^2)^2}{2} dx \approx 8,53\\M_y = \int_S dM_y = \int_0^2 x(4 - x^2) dx = 4$$

Com os resultados acima, calculam-se as coordenadas do centroide:

$$x_c = \frac{M_y}{S} = \frac{4}{5,33} \approx 0,75\\y_c = \frac{M_x}{S} = \frac{8,53}{5,33} \approx 1,6$$

2) Centro de Gravidade

(Topo | Fim pág)

Algumas vezes, centroide e centro de gravidade são considerados sinônimos, mas rigorosamente não são. Centroide é um parâmetro geométrico e centro de gravidade é um parâmetro físico de um corpo (ponto pelo qual passa a linha de ação do peso) e, portanto, devem ser computadas as três dimensões e o peso específico.

A fim de manter a analogia no caso do centro de gravidade, a superfície é considerada uma placa de espessura pequena, de forma que o peso específico do material seja constante ao longo dessa espessura, isto é, só depende das coordenadas x e y. Seja então uma placa plana de espessura pequena e constante t, área S e peso específico γ(x, y). Assim, os volumes elementares são dados por t dS. E as coordenadas do centro de gravidade são:

$$x_g = \frac{\int \gamma(x,y) x t dS}{\int \gamma(x,y) t dS} = \frac{\int \gamma(x,y) x dS}{\int \gamma(x,y) dS}\\y_g = \frac{\int \gamma(x,y) y t dS}{\int \gamma(x,y) t dS} = \frac{\int \gamma(x,y) y dS}{\int \gamma(x,y) dS} \tag{2A}$$

Se o material da placa é homogêneo, γ(x, y) = constante, e as relações acima tornam-se iguais a (1A) e (1B) do tópico anterior. Portanto, centroide e centro de gravidade são coincidentes se o material é homogêneo ou pode ser assim considerado (é o caso da maioria das aplicações práticas).


3) Calculando Centroides por Composição

(Topo | Fim pág)

O cálculo do centroide de algumas superfícies de geometrias mais complexas pode ser facilitado se houver possibilidade de subdivisão em formas mais simples.

Composição de superfícies
Fig 3-I

Seja o exemplo da Figura 3-I (a), em que a superfície pode ser subdividida em dois retângulos conforme (b) da mesma figura. Retângulo é uma forma simples, que tem dois eixos de simetria, cuja interseção coincide com a interseção das diagonais. Portanto, nesse exemplo, as coordenadas dos centroides de cada, (x1, y1) e (x2, y2), são facilmente determinadas.

De forma genérica, as coordenadas do centroide resultante da composição são dadas por:

$$x_c = \frac{\sum x_i S_i}{\sum S_i}\\y_c = \frac{\sum y_i S_i}{\sum S_i} \tag{3A}$$
As fórmulas podem inclusive ser usadas para partes vazadas (furos). Nessas, as áreas dever ser consideradas negativas.
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, P. Ferdinand. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Jun/2018