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Turbina Pelton - Princípios de Operação II

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Tópicos: Relações Teóricas | Exemplo de Cálculo |

1) Relações Teóricas

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A Figura 1-I dá o esquema básico de operação da turbina Pelton: água sai de um bocal injetor com velocidade c1 e atinge uma concha, que, por sua vez, tem uma velocidade cc. Desde que ela tem dimensões pequenas em relação ao rotor, essa velocidade pode ser considerada constante em toda a concha. Usando a relação básica do movimento circular uniforme e supondo ω a velocidade angular do rotor,

$$c_c = \omega\ R \tag{1A}$$
Observa-se que, teoricamente, toda a queda de pressão ocorre no injetor e a operação ocorre apenas pelo desvio da direção do fluxo, o que caracteriza um tipo de puro impulso.

Segundo relações da mecânica dos fluidos, um fluxo livre pode ser considerado com pressão relativa nula. Usando a equação de Bernoulli e um coeficiente de perda,

$$c_1 = K_f \sqrt{\frac{2 p}{\rho}} \tag{1B}$$
c1: velocidade da água na saída do injetor
Kf: coeficiente para perda por atrito no injetor
p: pressão da água na entrada do injetor
ρ: massa específica da água

De acordo com a equação da continuidade dos fluidos, a vazão de massa é:

$$\dot m = K_c\ \rho\ S\ c_1 \tag{1C}$$
Kc: coeficiente de contração do jato na saída do injetor
S: área da seção transversal na saída do injetor

Substituindo o valor da velocidade dado em (1B), a vazão de massa é:

$$\dot m = K_d\ S\ \sqrt{2\ p\ \rho} \tag{1D}$$
Kd = Kf Kc = coeficiente de descarga

Em cálculos com água, é comum a referência da pressão em termos de altura H. Assim, considerando g a aceleração da gravidade, o valor de pressão das equações anteriores é dado por:

$$p = \rho\ g\ H \tag{1E}$$
Rotor e injetor
Fig 1-I

Conforme já mencionado, as conchas têm cavidade dupla para anular os esforços axiais. Portanto, a análise de velocidades conforme Figura 1-II pode ser feita para um lado da concha porque o outro é simétrico. Se o jato com velocidade c1 alcança a concha cuja velocidade é cc conforme (a) da mesma figura, tem-se a velocidade c1c do jato em relação à concha indicada vetorialmente em (b) da figura. Para o resultado final, precisa-se apenas dos componentes x (c1x no caso de c1) das velocidades porque no sentido y (axial neste caso) os momentos se anulam.

Em termos vetoriais, ocorre no ponto 1:

$$\vec c_1 = \vec c_c + \vec c_{1c} \tag{1F}$$
No ponto 2, a água sai da concha com uma velocidade c2c relativa a ela. Essa velocidade faz um ângulo ϕ com a horizontal e, se desconsiderado o atrito, deve ter módulo igual à velocidade relativa de entrada c1c. Na prática deve existir um coeficiente de perda por atrito na concha Kfc. Assim,

$$c_{2c} = K_{fc}\ c_{1c} \tag{1G}$$
Fluxo nas pás
Fig 1-II

A relação vetorial das velocidades em 2 é similar à do ponto 1:

$$\vec c_2 = \vec c_c + \vec c_{2c} \tag{1H}$$
Onde c2 é a velocidade absoluta de saída do jato. Nesse ponto os vetores não estão alinhados e o resultado gráfico pode ser visto em (c) da Figura 1-II. Também em (c) da figura, nota-se que a diferença final de velocidades ao longo de x é:

$$\Delta c_x = c_{1x} - c_{2x} = c_{1c} - c_{2c} \cos \phi \tag{1I}$$
Substituindo c2c pelo valor em (1G) e c1c pelo valor retirado de (1F), chega-se ao resultado:

$$\Delta c_x = (c_1 - c_c) (1 - K_{fc} \cos \phi) \tag{1J}$$
Então, o produto dessa variação de velocidade pela vazão de massa dá a força atuante na concha. E o produto dessa força pela velocidade tangencial da concha cc dá a potência líquida da máquina:

$$P_l = \dot m\ c_c (c_1 - c_c) (1 - K_{fc} \cos \phi) \tag{1K}$$
Plpotência líquida
$\dot m$vazão de massa da água
ccvelocidade tangencial da concha (1A)
c1velocidade do jato na saída do injetor (1B)
Kfccoeficiente de perda por atrito na concha
ϕângulo de saída do jato da concha


Curva de potência
Fig 1-III

Mantidos os demais parâmetros constantes, analisa-se a variação da potência Pl com a velocidade tangencial da concha cc. Conforme igualdade anterior (1K) é uma função do segundo grau e a curva tem forma de parábola como pode ser vista na Figura 1-III. Nota-se a coerência com a prática: se o rotor não gira (cc = 0), a potência é nula. Se a velocidade da concha é maior ou igual à velocidade do jato (c1), não há impacto e a potência é também nula. A simetria permite deduzir que a potência máxima ocorre com:

$$c_c = \tfrac{1}{2} c_1 \tag{1L}$$
Outra confirmação prática é dada pelo termo (1 − Kfc cos ϕ) da mesma igualdade: supondo por simplicidade Kfc = 1, ele tem seu valor máximo (= 2) se ϕ = 180°, ou seja, a potência é máxima se o jato é desviado na direção oposta (inviável na prática). Se ϕ = 0° (significando uma concha plana, paralela ao fluxo), não há desvio e a potência é nula.


2) Exemplo de Cálculo

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Uma turbina Pelton opera com injetor de diâmetro 30 mm sob uma pressão de 180 metros de água. São dados: diâmetro do rotor 1,7 m | eficiência mecânica 87% | coeficiente de fricção do injetor 0,995 | coeficiente de descarga do injetor 0,99 | coeficiente de fricção das conchas 0,98 | ângulo de saída do jato da concha 165°. Considerando esses valores (também massa específica da água 1000 kg/m³ e aceleração da gravidade 9,81 m/s²) e operação com máxima potência, determinar os demais parâmetros.

ρ = 1000 kg/m3, g = 9,81 m/s2 e altura H = 180 m. Segundo (1E), pressão no injetor:

p = ρ g H = 1000 × 9,81 × 180 = 1765800 Pa

O coeficiente de atrito no injetor é Kf = 0,995. Conforme (1B), velocidade na saída do injetor:

c1 = Kf √(2 p / ρ) = 0,995 √(2 × 1765800 / 1000) ≈ 59,13 m/s

Diâmetro do injetor D = 30 mm ou 0,03 m. Portanto, área S = π 0,032 / 4 ≈ 0,00071 m2. O coeficiente de descarga é Kd = 0,99. Segundo (1D), vazão de massa:

$\dot m$ = Kd S √(2 p ρ) = 0,99 × 0,00071 √(2 × 1765800 × 1000) ≈ 41,77 kg/s

Se opera na potência máxima, a velocidade tangencial das conchas segundo (1L) é cc = c1 / 2 = 59,13 / 2 ≈ 29,57 m/s. O coeficiente de fricção nas conchas é Kfc = 0,98 e o ângulo de saída cos ϕ = cos 165 ≈ − 0,966. Conforme (1K), a potência líquida é:

Pl = $\dot m$ cc (c1 − cc) (1 − Kfc cos ϕ) = 41,77 × 29,57 × (59,13 − 29,57) × (1 + 0,98 × 0,966) ≈ 71,05 kW

O raio do rotor é R = 1,7 / 2 = 0,85 m. Segundo (1A), cc = ω R. Portanto, velocidade angular do rotor:

ω = 29,57 / 0,85 ≈ 34,79 rad/s ou 332,2 rpm

A potência hidráulica é dada por (1B) da página anterior (com H = Δz):

Ph = $\dot m$ g ΔZ = 41,77 × 9,81 × 180 ≈ 73,76 kW

A eficiência hidráulica é conforme (1D) da página mencionada:

ηh = Pl / Ph = 71,05 / 73,76 ≈ 0,972

Segundo (1E) da mesma página, eficiência mecânica ηm = Pe / Pl. Portanto 0,87 = Pe / 71,05 ou potência de eixo:

Pe ≈ 61,81 kW

E a eficiência global é dada por (1F) da mesma página:

ηt = Pe / Ph = 61,81 / 73,76 ≈ 0,838
Referências
Pesquisa na Internet em Jul/2007 - Fontes não anotadas.

Topo | Rev: Mai/2018