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Equações de Navier-Stokes IV

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Tópicos: Forma Genérica | Forma para Fluido Newtoniano Incompressível |


1) Forma Genérica

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Repetindo resultados de páginas anteriores, a aceleração de uma porção de fluido é dada por:

$$\vec a = {D\vec u \over Dt} = {\partial \vec u \over \partial t} + \vec u \cdot \nabla \vec u \tag{1A}$$
A soma das forças de pressão por volume é:

$${\sum \vec F_p \over dV} = -\nabla p \tag{1B}$$
Para a soma das forças de viscosidade por volume,

$${\sum \vec F_{visc} \over dV} = \vec{\mathrm{div}}\ \tau \tag{1C}$$
E a força devido à gravidade é:

$${\vec F_g \over dV} = - \rho g \vec k \tag{1D}$$
De acordo com a segunda lei de Newton, a massa de um corpo multiplicada pela aceleração é igual à resultante das forças nele atuantes. Não se pode fazer diretamente a igualdade com as equações acima porque a primeira é aceleração e as outras são forças por unidade de volume. Entretanto, se a aceleração (1A) é multiplicada pela massa específica do fluido (ρ), o resultado é força por volume e pode ser igualado à soma das demais:

$$\rho {D\vec u \over Dt} = -\nabla p + \vec{\mathrm{div}}\ \tau - \rho g \vec k \tag{1E}$$
Essa fórmula é genérica e pode ser aplicada a qualquer material, fluido ou não. Lembrando agora os símbolos de grandezas e operadores,

ρ Massa específica
D/Dt  Derivada substancial
$\vec u$ Velocidade (vetor)
$\nabla$ Gradiente (operador vetorial)
p Pressão
${\mathrm{div}}$ Divergência (operador vetorial)
τ Matriz das tensões de viscosidade
g Aceleração da gravidade
$\vec k$ Vetor unitário no eixo Z (vertical)

Expandindo os operadores da equação (1E) conforme visto nos respectivos tópicos, as equações para as coordenadas cartesianas são:

$$\img{im02/navstk4_1.png}{-2em}{}{}\tag{1F}$$

A força de campo externo é supostamente a gravidade e o eixo Z é considerado vertical. Assim, ela atua apenas nesse eixo. Cabe também observar que há mais variáveis do que equações e, portanto, há necessidade de outras hipóteses para uma solução.


2) Forma para Fluido Newtoniano Incompressível

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Para um fluido incompressível, conforme dado na página Equação da Continuidade,

$$\nabla \cdot (\rho \vec u) = 0 \tag{2A}$$
Ou seja,

$${\partial u_x \over \partial x} + {\partial u_y \over \partial y} + {\partial u_z \over \partial z} = 0 \tag{2B}$$
Para um fluido newtoniano, vale a relação:

$$\tau = \mu {du \over dh} \tag{2C}$$
τ tensão de cisalhamento
μcoeficiente de viscosidade
uvelocidade
hdistância transversal

Omitindo o desenvolvimento matemático, a seguinte relação é obtida para as forças de viscosidade a partir das equações acima:

$${\sum \vec F_{visc} \over dV} = \mu\ \nabla^2 \vec u \tag{2D}$$
Essa relação usa o operador laplaciano, definido por:

$$\nabla^2 f = {\partial^2 f \over \partial x^2} + {\partial^2 f \over \partial y^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2} \tag{2E}$$
Então, a equação (1E) do tópico anterior toma a forma:

$$\rho {D\vec u \over Dt} = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec u - \rho g \vec k \tag{2F}$$
Usando as definições dos operadores,

$$\img{im02/navstk4_2.png}{-2em}{}{}\tag{2G}$$
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Cohen, Y. Mass Transfer Fundamentals. Los Angeles, University of California.
Costa, E. C. Mecânica dos Fluidos. Porto Alegre, Globo, 1973.
Dunn, D. J. Fluid Mechanics. Site www.freestudy.co.uk.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Kolecki, J. C. An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering. Cleveland, Nasa, 2002.

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