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Equações de Navier-Stokes III

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Tópicos: Forças de Pressão | Força de um Campo Externo | Notas sobre Expansão com Série de Taylor |


1) Forças de Pressão

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Na análise das forças de pressão em um elemento de fluido, considera-se, conforme Figura 1-I, uma pressão p0 no centro geométrico desse elemento. Numa situação genérica, não se pode supor pressão constante em todos os pontos. Assim, ao longo do eixo X, as faces esquerda e direita devem ter pressões p1 e p2 dadas por:

$$p_1 = p_0 - {dx \over 2}{\partial p \over \partial x}\\p_2 = p_0 + {dx \over 2}{\partial p \over \partial x} \tag{1A}$$
Cada face tem área dy dz. E as forças atuantes são dadas pelo produto dessa área pela respectiva pressão:

$$F_1 = \left(p_0 - {dx \over 2}{\partial p \over \partial x}\right)dy dz\\F_2 = \left(p_0 + {dx \over 2}{\partial p \over \partial x}\right)dy dz \tag{1B}$$

Fig 1-I

Considerando dV um volume infinitesimal, a força líquida na direção X é dada pela diferença:

$$F_{p\ x} = F_1 - F_2 = - {\partial p \over \partial x} dx dy dz = {\partial p \over \partial x} dV \tag{1C}$$

Deduzindo de forma análoga para os demais eixos e fazendo a soma vetorial com uso dos vetores unitários,

$$\sum \vec F_p = \left(-{\partial p \over \partial x}\vec i-{\partial p \over \partial y}\vec j-{\partial p \over \partial z}\vec k\right)dV \tag{1D}$$

Considerando o operador vetorial gradiente, essa relação pode ser escrita:

$${\sum \vec F_p \over dV} = -\nabla p \tag{1E}$$

2) Força de um Campo Externo

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Um campo externo pode atuar sobre o corpo fluido e exercer uma força. Na prática, esse campo é quase sempre a força gravitacional da Terra, que atua em apenas uma direção. Na Figura 1-I do tópico anterior, é suposto que o eixo Z seja a direção da força gravitacional. Se dm é a massa do volume elementar e g é a aceleração da gravidade, a força gravitacional é dada por:

$$\vec F_g = - dm\ g\ \vec k \tag{2A}$$
Dividindo tudo por dV e considerando ρ a massa específica (= dm/dV), tem-se:

$${\vec F_g \over dV} = - {dm\ g \over dV}\ \vec k = - \rho g \vec k \tag{2B}$$

3) Notas sobre Expansão com Série de Taylor

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Nos tópicos anteriores, Forças de Pressão e Forças de Viscosidade, foram usadas relações simples, mas importantes para o incremento de uma função. Isso pode ser visto de modo mais claro no exemplo da Figura 3-I: uma função genérica f(x) da qual se conhece um valor f(x1). Deseja-se então uma fórmula para calcular o valor da função em x1 mais um incremento, isto é, f(x1 + Δx).


Fig 3-I

A série de Taylor permite calcular esse valor a partir de uma soma de derivações sucessivas:

$$f(x_1 + \Delta x) = f(x_1) + {\partial f \over \partial x}\Delta x + {\partial^2 f \over \partial x^2}{(\Delta x)^2 \over 2!} + {\partial^3 f \over \partial x^3}{(\Delta x)^3 \over 3!} + \cdots \tag{3A}$$

Conforme pode ser observado na figura, com a diminuição de Δx, o valor de f(x1 + Δx) se aproxima do valor dado pela reta tangente, de inclinação igual à derivada de primeira ordem. Portanto, na variação infinitesimal, pode-se usar apenas os dois primeiros termos do lado direito de (3A), ou seja,

$$f(x_1 + dx) = f(x_1) + {\partial f \over \partial x}dx \tag{3B}$$
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Cohen, Y. Mass Transfer Fundamentals. Los Angeles, University of California.
Costa, E. C. Mecânica dos Fluidos. Porto Alegre, Globo, 1973.
Dunn, D. J. Fluid Mechanics. Site www.freestudy.co.uk.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Set/2018