Anotações & Informações | Índice | Fim pág | Voltar |


Equações de Navier-Stokes II

| Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Tópicos: Forças de Viscosidade |


1) Forças de Viscosidade

(Topo | Fim pág)

Nos escoamentos, há sempre atritos internos que se opõem ao movimento. São as forças de viscosidade, que produzem tensões nas superfícies de uma partícula qualquer do fluido. Desde que não são forças devido à pressão, a aplicação não é necessariamente normal à superfície. Assim, numa situação genérica, deve ser considerado uma direção também genérica de atuação.

A Figura 1-I representa um volume elementar de fluido em forma de paralelepípedo. As forças atuantes em cada face são decompostas nas direções dos eixos de coordenadas e são consideradas em termos de tensões, isto é, força por área da superfície onde atua. Assim, em cada face atuam uma tensão normal e duas tensões transversais.

As tensões são identificadas pela letra grega tau (τ) com dois índices: o primeiro identifica a superfície (eixo ao qual ela é perpendicular) e o segundo indica o eixo de coordenada da tensão. Exemplo: τxy significa tensão na superfície perpendicular ao eixo X e na direção do eixo Y. Para um volume infinitesimal, pode-se supor que as tensões em faces opostas tenham o mesmo valor absoluto. Dessa forma, as tensões no elemento ficam definidas pelos 9 componentes exibidos na figura, formando uma matriz 3×3, que é denominada tensor do elemento:

$$\tau = \begin{pmatrix}\tau_{xx}&\tau_{xy}&\tau_{xz}\\\tau_{yx}&\tau_{yy}&\tau_{yz}\\\tau_{zx}&\tau_{zy}&\tau_{zz}\end{pmatrix} \tag{1A}$$

Fig 1-I

Por questão de clareza da figura, os vetores da matriz estão indicados nas faces, mas devem ser considerados no centro. Assim, por exemplo, a tensão τzx na face superior deve ser:

$$(\tau_{zx})_s = \tau_{zx} + {dz \over 2} {\partial \tau_{zx} \over \partial z} \tag{1B}$$
Na face inferior,

$$(\tau_{zx})_i = \tau_{zx} - {dz \over 2} {\partial \tau_{zx} \over \partial z} \tag{1C}$$
As forças devido a essas tensões são obtidas pela multiplicação por dxdy:

$$F_s = \left(\tau_{zx} + {dz \over 2} {\partial \tau_{zx} \over \partial z} \right)dx dy\\F_i = \left(\tau_{zx} - {dz \over 2} {\partial \tau_{zx} \over \partial z} \right)dx dy \tag{1D}$$
Essas forças agem em sentidos opostos. Portanto, a força líquida ao longo do eixo X decorrente da tensão τzx é calculada por (V é volume):

$$F_s - F_i = {\partial \tau_{zx} \over \partial z} dxdydz = {\partial \tau_{zx} \over \partial z} dV \tag{1E}$$

As demais tensões que produzem esforços no eixo X são τxx e τyx. Usando procedimento similar e somando todas, a força de viscosidade resultante no eixo X é dada por:

$$\sum F_{visc\ x} = {\partial \tau_{xx} \over \partial x} dV + {\partial \tau_{yx} \over \partial y} dV + {\partial \tau_{zx} \over \partial z} dV = \left({\partial \tau_{xx} \over \partial x} + {\partial \tau_{yx} \over \partial y} + {\partial \tau_{zx} \over \partial z}\right) dV \tag{1F}$$

O cálculo é análogo para os demais eixos. E o vetor da força total por unidade de volume devido à viscosidade é:

$${\sum \vec F_{visc} \over dV} = \left({\partial \tau_{xx} \over \partial x} + {\partial \tau_{yx} \over \partial y} + {\partial \tau_{zx} \over \partial z}\right)\vec i + \left({\partial \tau_{xy} \over \partial x} + {\partial \tau_{yy} \over \partial y} + {\partial \tau_{zy} \over \partial z}\right)\vec j + \left({\partial \tau_{xz} \over \partial x} + {\partial \tau_{yz} \over \partial y} + {\partial \tau_{zz} \over \partial z}\right)\vec k \tag{1G}$$

A relação anterior pode ser dada de forma compacta pela notação de divergência de um tensor:

$${\sum \vec F_{visc} \over dV} = \vec{\mathrm{div}}\ \tau \tag{1H}$$
Nota: na representação de tensor conforme (1A), os elementos da matriz são, na realidade, vetores, que, para cada eixo, podem ter 2 direções (normal e tangencial). É denominado, tensor de segunda ordem, tendo 32 = 9 componentes. Generalizando, pode-se dizer que um vetor é um tensor de primeira ordem (31 = 3 componentes) e um escalar, um tensor de ordem zero (30 = 1 componente). O produto escalar (ou produto interno) de dois vetores é um escalar e, portanto, o resultado do operador divergência é escalar (ver operadores vetoriais). O produto interno de um vetor por um tensor de segunda ordem é um vetor. Assim, a divergência de um tensor de segunda ordem é um vetor, representado pela seta sobreposta na relação (1H).
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Cohen, Y. Mass Transfer Fundamentals. Los Angeles, University of California.
Costa, E. C. Mecânica dos Fluidos. Porto Alegre, Globo, 1973.
Dunn, D. J. Fluid Mechanics. Site www.freestudy.co.uk.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Kolecki, J. C. An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering. Cleveland, Nasa, 2002.

Topo | Rev: Set/2018