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Equações de Navier-Stokes I

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Tópicos: Aceleração e Derivada Substancial | Exemplo de Cálculo |


1) Aceleração e Derivada Substancial

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O conceito de derivada substancial pode ser explicado com auxílio de um exemplo que usa uma grandeza escalar (temperatura, neste caso): seja um corpo aquecido, que é deixado em repouso num ambiente calmo. Nessa condição, a temperatura deverá ser apenas função do tempo T(t). Se esse corpo se move em uma direção qualquer na atmosfera, a temperatura irá depender do tempo e das coordenadas físicas, uma vez que a temperatura da atmosfera varia de acordo com a posição. Assim, a função será T(t, x, y, z). Uma variação de temperatura do corpo pode então ser dada pela soma das contribuições individuais:

ΔT = ΔTt + ΔTx + ΔTy + ΔTz. Multiplicando e dividindo cada parcela por incrementos,

ΔT = Δt ∂Tt

/

∂t + Δx ∂T

/

∂x + Δy ∂T

/

∂y + Δz ∂T

/

∂z
. Tomando o limite da variação de temperatura em relação ao tempo,

$$\lim_{\Delta t\rightarrow 0}{\Delta T \over \Delta t} = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\left({\Delta t \over \Delta t}{\partial T \over \partial t}+{\Delta x \over \Delta t}{\partial T \over \partial x}+{\Delta y \over \Delta t}{\partial T \over \partial y}+{\Delta z \over \Delta t}{\partial T \over \partial z}\right) \tag{1A}$$

Sejam ux, uy e uz os componentes do vetor $\vec u$ da velocidade do corpo. Substituindo pelas frações correspondentes nas três últimas parcelas, obtém-se a derivada substancial da grandeza T:

$${DT \over Dt} = {\partial T \over \partial t} + u_x {\partial T \over \partial x} + u_y {\partial T \over \partial y} + u_z {\partial T \over \partial z} \tag{1B}$$

No lado direito da relação acima, a primeira parcela indica a variação que ocorreria na ausência de movimento (variação local). E as três últimas parcelas formam a variação convectiva, isto é, a variação devido à variação de posição na atmosfera, que ocorreria mesmo se o corpo não fosse aquecido.

No caso de uma partícula de fluido, o uso da derivada substancial da velocidade em relação ao tempo (aceleração) é significativo, pois separa as partes dependente do tempo e dependente do local. Desde que velocidade é grandeza vetorial, as equações da derivada substancial são mais complexas porque precisam ser feitas para cada componente. Seja então o vetor velocidade dado em termos de vetores unitários (i, j e k):

$$\vec u = u_x \vec i + u_y \vec j + u_z \vec k \tag{1C}$$
Assim, a aceleração é dada por:

$$\vec a = {D\vec u \over Dt} = {Du_x \over Dt} \vec i + {Du_y \over Dt} \vec j + {Du_z \over Dt} \vec k \tag{1D}$$

Aplicando a relação da derivada substancial conforme (1B) a cada componente (ux, uy, uz) e simplificando com uso de operadores vetoriais, chega-se a:

$$\vec a = {D\vec u \over Dt} = {\partial \vec u \over \partial t} + \vec u \cdot \nabla \vec u \tag{1E}$$
Onde o operador do último termo equivale a:

$$\vec u \cdot \nabla = u_x {\partial \over \partial x} + u_y {\partial \over \partial y} + u_z {\partial \over \partial z} \tag{1F}$$
Portanto, na igualdade (1E), o termo $\vec u \cdot \nabla \vec u$ representa a parte convectiva da aceleração. Cabe também notar que essa relação pode ser generalizada para uma função vetorial qualquer:

$${D\vec f \over Dt} = {\partial \vec f \over \partial t} + (\vec u \cdot \nabla)\ \vec f \tag{1G}$$
A derivada substancial (também denominada derivada lagrangeana, derivada material ou derivada total) relaciona um sistema de referência langrageano com um sistema de referência euleriano. Numa analogia prática, o sistema lagrangeano seria o caso de um observador analisar o fluxo de um rio em um barco que acompanha a corrente e, no sistema euleriano, o observador estaria fixo, em um local na margem do rio.


2) Exemplo de Cálculo

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O campo de velocidade de um escoamento é dado por:

ux = 3 x2 t + y
uy = x y t − t2
uz = 0

Com os dados acima e considerando unidades básicas SI (m, s), determinar:

• aceleração medida por um observador estacionário a x = 2 m, y = 3 m e tempo t = 2 s.

• aceleração de um elemento fluido no mesmo local e tempo anteriores.

Desde que uz é nulo, consideram-se apenas os eixos X e Y. As derivadas parciais em relação ao tempo são:

∂ux/∂t = 3 x2

∂uy/∂t = x y − 2 t


Para a primeira pergunta, a resposta é a variação local da aceleração, ∂$\vec u$/dt, conforme primeira parcela de (1E):

∂$\vec u$/∂t = (∂ux/∂t) $\vec i$ + (∂uy/∂t) $\vec j$

Substituindo as expressões com os valores dados de x, y e t,

∂$\vec u$/∂t = (3 × 22) $\vec i$ + (2 × 3 − 2 × 2) $\vec j$ = 12 $\vec i$ + 2 $\vec j$

Para a segunda pergunta, a resposta é a derivada substancial D$\vec u$/Dt. Desde que a parcela local já está acima calculada, deve-se determinar a parcela convectiva, conforme segunda parcela da relação (1E). As derivadas parciais, com a substituição dos valores, são:

∂ux/∂x = 6 x t = 24
∂ux/∂y = 1
∂uy/∂x = y t = 3 × 2 = 6
∂uy/∂y = x t = 2 × 2 = 4


E as velocidades são:

ux = 3 x2 t + y = 3 22 2 + 3 = 27
uy = x y t − t2 = 2 3 2 − 22 = 8


Usando (1F),

$\vec u \cdot \nabla \vec u$ = ux ∂$\vec u$/∂x + uy ∂$\vec u$/∂y = ux ∂(ux$\vec i$ + uy$\vec j$)/∂x + uy ∂(ux$\vec i$ + uy$\vec j$)/∂y

Reagrupando e substituindo os valores anteriores,

$\vec u \cdot \nabla \vec u$ = (27 × 24 + 8 × 1)$\vec i$ + (27 × 6 + 8 × 4)$\vec j$ = 656 $\vec i$ + 194 $\vec j$

O resultado final é:

D$\vec u$

/

Dt = ∂$\vec u$

/

∂t + $\vec u \cdot \nabla \vec u$ = 12 $\vec i$ + 2 $\vec j$ + 656 $\vec i$ + 194 $\vec j$ = 668 $\vec i$ + 196 $\vec j$

Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Cohen, Y. Mass Transfer Fundamentals. Los Angeles, University of California.
Costa, E. C. Mecânica dos Fluidos. Porto Alegre, Globo, 1973.
Dunn, D. J. Fluid Mechanics. Site www.freestudy.co.uk.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Set/2018