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Fluidos C-04

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Tópicos: Escoamento Isentrópico em Bocal |


1) Escoamento Isentrópico em Bocal

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Seja, de acordo com Figura 1-I, um bocal convergente e divergente pelo qual escoa, de forma isentrópica, um gás ideal. Considera-se um volume de controle genérico de área transversal A sujeito a variações infinitesimais de condições físicas (temperatura, massa específica, etc) conforme indicado.

Já visto que a velocidade do som em um gás ideal é:

$$c_s = \sqrt{\chi R T} \tag{1A}$$
Onde χ é a relação cp/cv (calor específico com pressão constante e com volume constante), R é a constante do gás e T é a temperatura absoluta. Considerando também o processo adiabático, segundo a Termodinâmica (onde p é pressão, v é volume específico e k é uma constante):

$$p\ v^\chi = k \tag{1B}$$
Desde que a massa específica ρ é o inverso do volume específico v,

$$p = k\ \rho^\chi \tag{1C}$$
Derivando em relação a ρ,

$${dp \over d\rho} = k \chi \rho^{\chi-1} = {\chi k \rho^\chi \over \rho} = {\chi p \over \rho} = \chi p v \tag{1D}$$

De acordo com a equação de estado dos gases ideais,

$$p\ v = R\ T\quad\text{ou}\quad p = \rho\ R\ T \tag{1E}$$
Assim,

$${dp \over d\rho} = \chi R T \tag{1F}$$
Substituindo em (1A),

$$c_s^2 ={dp \over d\rho} \tag{1G}$$
Diferenciando (1E) e dividindo por ρ R T, obtém-se:

$${dp \over p} = {d\rho \over \rho} + {dT \over T} \tag{1H}$$
Para um fluxo estacionário, a equação da conservação da energia é

$$q - w_e = \Delta h + \Delta(gz) + \Delta(c^2/2) \tag{1I}$$
Onde q calor trocado, we trabalho externo, h entalpia, g aceleração da gravidade, z altura física, c velocidade. Neste caso, q = we = 0 e também Δ(g z) = 0. Simplificando e tomando as diferenciais,

$$dh + c\ dc = 0 \tag{1J}$$
O fluxo de massa, segundo equação da continuidade, para o regime estacionário é dado por (A é área da seção):

$$\dot m = \rho A c = \text{constante} \tag{1K}$$
Tomando as diferenciais e dividindo tudo por ρ A c, resulta em:

$${d \rho \over \rho} + {dA \over A} + {dc \over c} = 0 \tag{1L}$$
Sejam as relações termodinâmicas: ds = dq / T (onde s entropia, q calor) e também dh = dq + v dp ou dh = dq + dp / ρ. Combinando, chega-se a:

$$T\ ds = dh - {dp \over \rho} \tag{1M}$$
No processo isentrópico, ds = 0. Substituindo em (1M) e combinando com (1J),

$${dp \over \rho} + c\ dc = 0 \tag{1N}$$

Fig 1-I

Isolando dc da igualdade (1L) e substituindo em (1N),

$${dp \over \rho} - c^2\left({d\rho \over \rho} + {dA \over A}\right) = 0 \tag{1O}$$
Multiplicando numerador e denominador de dρ / ρ por dp e reagrupando, dρ / ρ = (dρ / dp) (dp / ρ). Da igualdade (1G), (dρ / dp) = 1 / cs2. Assim, dρ / ρ = (1 / cs2) (dp / ρ). Substitui-se em (1O) e considera-se a definição do número de Mach:

$$M_a = {c \over c_s} \tag{1P}$$
Obtém-se após rearranjo:

$${dp \over \rho}(1 - M_a^2) = c^2 {dA \over A} \tag{1Q}$$
Pode-se isolar a pressão:

$$dp = {\rho c^2 \over A}{dA \over 1 - M_a^2} \tag{1R}$$
Nessa igualdade, desde que ρ c2 / A só pode ser positivo, o sinal da variação de pressão (dp) depende do número de Mach e do sinal de dA (negativo se convergente e positivo se divergente).

Da relação (1N), dp / ρ = − c dc. Substituindo em (1Q) e simplificando, obtém-se outra formulação para o escoamento no bocal:

$${dA \over A} = (M_a^2 - 1) {dc \over c} \tag{1S}$$
Considerando essas duas últimas igualdades, é possível montar a tabela abaixo para demonstrar as relações permitidas dos diversos parâmetros.

Ma < 1 Ma > 1
Bocal divergente dA > 0
divergente
dc < 0
dp > 0
(difusor subsônico)
dc > 0
dp < 0
(bocal supersônico)
Bocal convergente dA < 0
convergente
dc > 0
dp < 0
(bocal subsônico)
dc < 0
dp > 0
(difusor supersônico)

Seja agora a situação de bocal convergente e divergente conforme Figura 1-II. Se Ma = 1 (escoamento sônico), deve-se ter necessariamente dA = 0 para dc finito, em conformidade com a relação (1S). Portanto, uma transição de subsônico para supersônico só pode ocorrer no estrangulamento, conforme (a) da mesma figura.


Fig 1-II

Se Ma ≠ 1 no estrangulamento conforme exemplo da Figura 1-II (b), deve ocorrer dc = 0 nesse ponto, significando ausência de aceleração e nenhuma transição subsônico / supersônico (o escoamento pode ser subsônico em toda a extensão do bocal).
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Cohen, Y. Mass Transfer Fundamentals. Los Angeles, University of California.
Costa, E. C. Mecânica dos Fluidos. Porto Alegre, Globo, 1973.
Dunn, D. J. Fluid Mechanics. Site www.freestudy.co.uk.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

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