Anotações & Informações | Índice | Fim pág | Voltar |


Fluidos C-03

| Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Tópicos: Escoamento Isentrópico de um Gás Ideal (cont) |


1) Escoamento Isentrópico de um Gás Ideal (cont)

(Topo | Fim pág)

Em página anterior foi vista a relação entre a pressão p em um determinado ponto e a pressão de estagnação pT, que é invariável no escoamento isentrópico:

$$\frac{p_{T}}{p}=\left(1+\frac{\chi-1}{2}M_a^2\right)^{\frac{\chi}{\chi-1}} \tag{1A}$$
A expansão binomial dessa expressão resulta em:

$${p_T \over p} = 1 + {\chi M_a^2 \over 2}\left(1 + {M_a^2 \over 4} + {M_a^4 \over 8}+\cdots \right) \tag{1B}$$

Para pequenos valores do número de Mach Ma, pode-se considerar:

$${p_T \over p} \approx 1 + {\chi M_a^2 \over 2} \tag{1C}$$
Fazendo pT = p + Δp, tem-se:

$$1 + {\Delta p \over p} \approx 1 + {\chi M_a^2 \over 2}\quad\therefore\quad {\Delta p \over p} \approx {\chi M_a^2 \over 2} \tag{1D}$$

A velocidade do som é dada por $\sqrt{\chi R T}$ e o número de Mach é a razão entre a velocidade do escoamento e a do som:

$$M_a = {c \over \sqrt{\chi R T}}\quad\therefore\quad M_a^2 = {c^2 \over \chi R T} \tag{1E}$$

Substituindo na anterior, Δp / p ≈ (1/2) c2 / (R T). Mas, para o gás ideal, p v = R T ou p / ρ = R T. Substituindo, chega-se a:

$$\Delta p \approx \tfrac{1}{2}\ c^2\ \rho \tag{1F}$$
O resultado significa que, para pequenas velocidades, há uma aproximação com o escoamento de líquidos (incompressível) calculado pela equação de Bernoulli.


Fig 1-I

Exemplo: conforme Figura 1-I, um tubo de Pitot é usado para medir um fluxo de ar (χ = 1,4) a 20°C, resultando em p1 = 105 kPa e p2 = 125 kPa. Determinar a velocidade c do escoamento.

Usa-se a fórmula (1A) porque não se conhece o número de Mach. Tem-se pT = p2 e p = p1.

125 / 105 = [ 1 + (1,4 − 1) Ma2 / 2 ]1,4 / (1,4 − 1)

Resolvendo,

Ma ≈ 0,505

A temperatura absoluta é T ≈ 273 + 20 = 293 K

Para o ar, a constante do gás é R ≈ 287 J/(kg K)

Então a velocidade do som é:

√(x R T) = √(1,4 × 287 × 293) ≈ 343 m/s

Portanto, Ma = 0,505 = c / 343. Resolvendo, c ≈ 173 m/s
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Cohen, Y. Mass Transfer Fundamentals. Los Angeles, University of California.
Costa, E. C. Mecânica dos Fluidos. Porto Alegre, Globo, 1973.
Dunn, D. J. Fluid Mechanics. Site www.freestudy.co.uk.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Set/2018