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Fluidos C-02

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Tópicos: Escoamento Isentrópico de um Gás Ideal |


1) Escoamento Isentrópico de um Gás Ideal

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Os conceitos de estagnação e número de Mach são úteis na simplificação da análise de escoamentos. Seja o exemplo genérico de um gás que escoa através de um tubo e troca calor q com o meio externo entre os pontos 1 e 2 conforme Figura 1-I. Para um gás ideal, segundo a Primeira Lei da Termodinâmica aplicada entre 1 e 2:

q12 − we12 = (cp T2 + c22/2) − (cp T1 + c12/2)

No caso da figura, não há trabalho externo ou we = 0. E, substituindo os valores segundo igualdade (1F) da página anterior,

$$q_{12} = h_{T2} - h_{T1} \tag{1A}$$
Ou seja, o calor trocado entre 1 e 2 é dado em função apenas das condições de estagnação. Pode-se também concluir que a entalpia de estagnação é constante se não há troca de calor.


Fig 1-I

Considerando a relação entre pressões e temperaturas num processo isentrópico,

$${p_T \over p} = \left({T_T \over T}\right)^{\chi \over \chi -1 } \tag{1B}$$
Pode-se substituir o valor da temperatura de estagnação e chegar à igualdade termodinâmica (1E) da página anterior,

$$\frac{p_{T}}{p}=\left(1+\frac{\chi-1}{2}M_a^2\right)^{\frac{\chi}{\chi-1}} \tag{1C}$$
Tem-se então a pressão em qualquer ponto do escoamento dada em função da pressão de estagnação, no número de Mach e da relação χ = cp/cv.

Considera-se a relação termodinâmica para processo isentrópico (onde v é volume específico e ρ é massa específica):

v1/v2 = ρ21 = (T2/T1)1/(χ − 1)

Combinando com as igualdades anteriores, chega-se a:

$$\frac{\rho_{T}}{\rho}=\left(1+\frac{\chi-1}{2}M_{a}^{\:2}\right)^{\frac{1}{\chi-1}} \tag{1D}$$

Fig 1-II

A Figura 1-II exibe curvas aproximadas para as igualdades (1D) da página anterior e (1C) desta página em função do número de Mach. Para maior clareza, as relações foram invertidas (ex: p / pT no lugar de pT / p). É considerado χ = 1,4 (válido para o ar por exemplo).

Exemplo: um reservatório de ar comprimido a 5 MPa e 21°C está conectado a um tubo por onde o ar escoa a uma vazão de massa de 1 kg/s. Em determinado ponto da tubulação foi medida uma pressão estática de 3 MPa. Considerando nula a velocidade do ar no reservatório e o escoamento isentrópico, determinar, para o ponto mencionado, o número de Mach, a temperatura, a massa específica, a velocidade e a área da seção transversal.

Sendo a velocidade no reservatório nula, as condições de estagnação são as condições informadas acima. Se o escoamento é isentrópico, essas condições são mantidas, ou seja,

pT = 5 MPa

TT ≈ 273 + 21 = 294 K

No ponto mencionado, p / pT = 3 / 5 = 0,6

Para o ar, χ = 1,4

Usando o gráfico da Figura 1-II ou a igualdade (1B), determina-se Ma ≈ 0,89

Do mesmo gráfico ou da igualdade (1D) da página anterior, T / TT ≈ 0,86. Ou

T ≈ 0,86 × 294 ≈ 253 K

Segundo a equação dos gases ideais, p v = Rg T. A constante universal é R ≈ 8,31447 J/(K mol). Para o ar, massa molar 0,029 kg/mol. Portanto,

Rar = 8,31447 / 0,029 ≈ 287 J/(K kg)

Assim, pT vT = pTρT = 287 TT. Ou ρT = 5000000287 × 294 ≈ 59,3 kg/m3

Da equação (1D) ρT / ρ = [1 + (1,4 − 1) 0,892 / 2]1 / (1,4−1) ≈ 1,444. Resolvendo,

ρ = 59,31,444 ≈ 41 kg/m3

Segundo (1A) da página anterior, a velocidade do som é:

cs = √(χ Rgás T) = √(1,4 × 287 × 253) ≈ 319 m/s

Da definição de número de Mach, obtém-se a velocidade no ponto considerado:

c = Ma cs = 0,89 × 319 ≈ 284 m/s

Da equação da continuidade dos fluidos, Qm = ρ S c, onde Qm é a vazão de massa, ρ é massa específica, S é área da seção transversal e c é velocidade. Assim,

S = 141 × 284 ≈ 8,6 × 10−5 m2 (ou diâmetro aproximado 1 cm para tubo de seção circular).
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Cohen, Y. Mass Transfer Fundamentals. Los Angeles, University of California.
Costa, E. C. Mecânica dos Fluidos. Porto Alegre, Globo, 1973.
Dunn, D. J. Fluid Mechanics. Site www.freestudy.co.uk.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

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