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Fluidos B-V

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Tópicos: Equação de Darcy-Weisbach | Coeficiente de Fricção para Escoamento Turbulento | Exemplos de Cálculo |


1) Equação de Darcy-Weisbach

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A igualdade (2C) do tópico Coeficiente de Fricção, pode-se reagrupada para indicar a perda de pressão em função de parâmetros do escoamento:

$$\Delta p = 4\ C_f {L \over D} {c^2\ \rho \over 2} \tag{1A}$$
Δpperda de pressão
Cfcoeficiente de fricção
L comprimento do tubo
Ddiâmetro do tubo
cvelocidade média do escoamento
ρmassa específica do fluido

Essa igualdade é conhecida como Equação de Darcy-Weisbach e é considerada a relação mais importante para cálculos práticos de escoamentos.

É usual a especificação de perda de pressão em termos de altura física. Conforme equação de Bernoulli, pressão devido à altura é ρ g h. Substituindo na anterior e isolando h,

$$h = 4\ C_f {L \over D} {c^2\ \over 2g} \tag{1B}$$
Para o caso particular de escoamento laminar, pode-se igualar Δp com a Equação de Poiseuille: p2 − p1 = 128 η L Q / (π D4) = Δp = Cf (L / D) (c2 ρ / 2). Consideram-se também:

Q vazão volumétrica = c π D2/4
Renúmero de Reynolds = c D / ν = c D / (η/ρ)

Chega-se então ao resultado, válido apenas para escoamento laminar:

$$C_f = {16 \over R_e} \tag{1C}$$
Se usada a igualdade (2D) do tópico Coeficiente de Fricção, a equação de Darcy-Weisbach é escrita na forma (onde P é o perímetro e S a área da seção conforme já visto.):

$$\Delta p = C_f {P \over S}\ L\ {c^2 \rho \over 2} \tag{1D}$$
Usa-se agora a definição de raio hidráulico, que é a relação entre a área da seção e o perímetro:

$$r_h = {S \over P} \tag{1E}$$
Substituindo na anterior,

$$\Delta p = C_f {1 \over r_h}\ L\ {c^2 \rho \over 2} \tag{1F}$$
Esse conceito permite estabelecer uma equivalência de perda de pressão por unidade de comprimento entre condutos de seção circular e de outras formas geométricas, considerando a mesma velocidade média de escoamento. Para seção circular, pode ser deduzido que rh = D/4. Substituindo esse valor em (1F), obtém-se a fórmula anterior (1A).


2) Coeficiente de Fricção para Escoamento Turbulento

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Conforme tópico anterior, para escoamento laminar, há uma relação simples entre coeficiente de fricção Cf e número de Reynolds Re. Para o turbulento, isso não é mais válido e existem algumas fórmulas e diagramas para a determinação do coeficiente.

Considerando rm a rugosidade média da superfície interna do tubo e D o seu diâmetro, define-se rugosidade relativa ε pela relação:

$$\epsilon = {r_m \over D} \tag{2A}$$
Dados de rugosidade em forma de tabela são informados neste tópico. Segue relação de fórmulas encontradas em literatura.

• Fórmula de Blasius (somente para tubos lisos):

$$C_f = 0,0791\ R_e^{0,25} \tag{2B}$$
• Fórmula de Lee (somente para tubos lisos):

$$C_f = 0,0018 + 0,152\ R_e^{0,35} \tag{2C}$$
• Fórmula de Colebrook (onde λ = 4 Cf. Exige iteração porque há λ em ambos os lados):

$${1 \over \sqrt \lambda} = 1,74 - 2\ \log\left(2\epsilon + {18,7 \over R_e \sqrt \lambda} \right) \tag{2D}$$

• Fórmula de Haaland:

$${1 \over \sqrt C_f} = - 3,6\ \log\left[{6,9 \over R_e} + \left({\epsilon \over 3,71}\right)^{1,11} \right] \tag{2E}$$

• Fórmula aproximada de Moody (onde λ = 4 Cf):

$$\lambda = 0,0055 \left[1 + \left(20000\ \epsilon + {1000000 \over R_e} \right)^{1/3} \right] \tag{2F}$$

• Diagrama de Moody (ver tópico correspondente):

Gráfico de Cf em função de ε e Re.


3) Exemplos de Cálculo

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Exemplo 1: um fluido escoa com número de Reynolds 20000 em um tubo de diâmetro interno 100 mm e rugosidade média 0,06 mm. Verificar o coeficiente de fricção.

A rugosidade relativa é ε = 0,06 / 100 = 0,0006. Usando a fórmula (2F), λ = 0,0055 [ 1 + (20000 × 0,0006 + 1000000 / 20000)1/3 ] ≈ 0,0272684. Portanto, Cf = λ/4 ≈ 0,00682

Exemplo 2: determinar a perda de pressão para o escoamento de um óleo de viscosidade dinâmica 0,005 Pa s, massa específica 900 kg/m3, velocidade média 4 m/s em um tubo de diâmetro interno 80 mm, comprimento 60 m e rugosidade média 0,02 mm.

Os dados são: η = 0,005 Pa s | ρ = 900 kg/m3 | c = 4 m/s | D = 80 10−3 m | L = 60 m | rm = 0,02 10−3 m. Calculando, ε = 0,02 × 10−3 / 80 × 10−3 = 0,00025. Também Re = c D / (η/ρ) = 4 × 80 × 10−3 × 900 / 0,005 = 57600. Do Diagrama de Moody, 4 Cf ≈ 0,026. Portanto, Cf ≈ 0,0065. Usando a Equação de Darcy-Weisbach, Δp = 4 Cf (L / D) (c2 ρ / 2) = 0,026 (60 / 80 × 10−3) (42 × 900 / 2) ≈ 140 kPa. Em termos de altura, pode-se igualar Δp a ρ g h e, portanto, h = 140 × 000 / (900 × 9,81) ≈ 16 m

Exemplo 3 (fonte - prova PF 2004. Reponder Certo ou Errado): Considere um escoamento de água entre dois pontos de um tubo horizontal, que possui diâmetro constante igual a 5 mm e se encontra ao nível do mar, onde a aceleração de gravidade é igual a 9,81 m/s2. Considere ainda que a velocidade de escoamento nesse tubo é de 5 m/s e que existe uma variação de pressão entre os dois referidos pontos de 4.905 N/m2. Nesse caso, sabendo que o fator de fricção é de 0,025 e a densidade da água é de 1 kg/dm3, a perda de carga no tubo é igual a 0,5 m.

Solução: listando os dados e convertendo unidades onde necessário, c = 5 m/s | D = 5 mm = 0,005 m | Δp = 4905 Pa | f = 4 Cf = 0,025 | g = 9,81 m/s2 | ρ = 1 kg/dm3 = 1000 kg/m3.

Com os dados acima, a relação (1A) do tópico Equação de Darcy-Weisbach poderia ser usada para calcular o comprimento do tubo. Mas o problema pede a perda de carga em metros que é a variação de pressão em termos de altura: Δp = 4905 Pa = ρ g h = 1000 9,81 h. Portanto, h = 0,5 m, resposta Certo e não há necessidade do uso da equação de Darcy-Weisbach.
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Cohen, Y. Mass Transfer Fundamentals. Los Angeles, University of California.
Costa, E. C. Mecânica dos Fluidos. Porto Alegre, Globo, 1973.
Dunn, D. J. Fluid Mechanics. Site www.freestudy.co.uk.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

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