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Fluidos B-III

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Tópicos: Escoamento Laminar em Tubos (Equação de Poiseuille) |


1) Escoamento Laminar em Tubos (Equação de Poiseuille)

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O escoamento entre placas visto na página anterior é de pouco interesse prático. Casos comuns são escoamentos em tubos, em especial nos de seção circular. Na Figura 1-I representa-se o corte para um fluxo, supostamente laminar, em um tubo redondo de diâmetro D (= 2R). A parte (a) indica um filete cilíndrico de raio r e comprimento ΔL do fluido escoado. A área da seção transversal do filete é π r2 e a área lateral é 2 π r ΔL.

De forma similar ao tópico Escoamento Laminar entre Placas Paralelas, deve-se ter resultante nula das forças: Δp π r2 = − τ 2 π r ΔL. Conforme tópico Conceito de Viscosidade, η = viscosidade dinâmica = τ dy / dc. De outra forma, τ = η dc / dy. Onde c é a velocidade da camada e y a distância vertical.

Para este caso, y = R − r. Calculando a diferencial, dy = − dr. Portanto, τ = − η dc / dr. Substituindo na anterior, Δp π r2 = η (dc / dr) 2 π r ΔL. Simplificando e rearranjando,

dc = Δp2 η ΔL r dr

Para resolver, deve-se integrar de c = 0 (onde r = R) até um valor genérico c (onde r = r).

Escoamento laminar em tubos
Fig 1-I

$\int_0^c$dc = Δp2 η ΔL $\int_R^r$ r dr. Resolvendo e simplificando,

$$c = {\Delta p \over 4 \eta \Delta L} (r^2 - R^2) \tag{1A}$$
Portanto, a distribuição de velocidade tem forma de parábola e graficamente é indicada em (b) da figura. A velocidade máxima ocorre para r = 0:

$$c_{max} = -{\Delta p \over 4 \eta \Delta L} R^2 \tag{1B}$$
A altura média de uma parábola é igual à metade da máxima. Assim, a velocidade média é dada por:

$$c_{med} = -{\Delta p \over 8 \eta \Delta L} R^2 \tag{1C}$$
Para tubos, é mais usual a especificação do diâmetro D (= 2R) e o comprimento é comumente simbolizado por L e não ΔL. Substituindo da fórmula anterior,

$$c_{med} = -{\Delta p \over 32 \eta L} D^2 \tag{1D}$$
A vazão volumétrica Q é dada pelo produto da velocidade média pela área da seção transversal:

$$Q = c_{med} {\pi D^2 \over 4} \tag{1E}$$
Substituindo cmed conforme igualdade anterior,

$$Q = - {\Delta p \pi D^4 \over 128 \eta L} \tag{1F}$$
Se consideradas p1 e p2 as pressões no início e no fim do tubo, Δp = p2 − p1 (é negativo porque a pressão no fim é menor devido à resistência do escoamento). Assim p1 − p2 = − Δp. Isolando Δp da igualdade anterior e substituindo por esse valor,

$$p_2 - p_1 = -{128\ \eta\ L \ Q \over \pi\ D^4} \tag{1G}$$
Essa fórmula dá, portanto, a perda de pressão do escoamento laminar para uma vazão volumétrica Q de um fluido com viscosidade dinâmica η em um tubo retilíneo de comprimento L e diâmetro interno D. É conhecida como Equação de Poiseuille em homenagem ao seu formulador, o físico francês Jean Louis Marie Poiseuille (verificou experimentalmente em 1838 e publicou em 1840 e 1846). Desde que a maioria dos escoamentos reais são turbulentos e tubulações têm em geral curvas e outros acessórios, as aplicações práticas dessa fórmula simples são limitadas. Mas tem emprego em casos como medição de viscosidade.

Exemplo 1: um tubo reto de diâmetro 100 mm conduz óleo de viscosidade dinâmica 0,018 Pa s e massa específica 900 kg/m3. Determinar a perda de pressão por unidade de comprimento e a velocidade média do escoamento sabendo que o número de Reynolds é 250.

Da definição de número de Reynolds, Re = c D / ν = c D / (η / ρ) = c D ρ / η. Portanto, 250 = c 0,1 × 900 / 0,018. Assim, c = 0,05 m/s, que deve ser a velocidade média cmed do fluxo. Substituindo os valores em (1C),

0,05 = − Δp8 × 0,018 × 1 (0,1/2)2. Calculando, Δp ≈ 2,88 Pa por metro de tubulação.

Exemplo 2: um óleo de massa específica 800 kg/m3 flui através de um tubo de diâmetro 1 mm e comprimento 30 mm. Determinar a viscosidade do óleo considerando que um desnível de 30 mm produz uma vazão de 8 mm3/s.

Um desnível em altura h significa, conforme equação de Bernoulli, uma diferença de pressão Δp = ρ g h, onde ρ é massa específica do fluido e g aceleração da gravidade (≈ 9,81 m/s2). Neste caso Δp = 800 × 9,81 × 30 × 10−3. Usando a igualdade anterior (1G),

800 × 9,81 × 30 × 10−3 = 128 × η × 30 10−3 × 8 × 10−9π × 1 × 10−12. Resolvendo, a viscosidade dinâmica é η ≈ 0,024 Pa s.

E a viscosidade cinemática é dada por: ν = ηρ = 0,024800 = 3 × 10−5 m2/s
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Cohen, Y. Mass Transfer Fundamentals. Los Angeles, University of California.
Costa, E. C. Mecânica dos Fluidos. Porto Alegre, Globo, 1973.
Dunn, D. J. Fluid Mechanics. Site www.freestudy.co.uk.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

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