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Fluidos B-I

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Tópicos: Conceito de Viscosidade | Camada Limite |


1) Conceito de Viscosidade

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Ao contrário dos sólidos, as forças de atração entre as moléculas dos fluidos não são suficientes para manter a rigidez do conjunto. Pode-se dizer que, sob ação de uma força, camadas elementares de um fluido sofrem um efeito de cisalhamento entre si.

O conceito de viscosidade já foi visto de forma simplificada em página anterior desta série. Aqui é apresentada uma formulação mais abrangente, considerando o cisalhamento entre duas camadas elementares de fluido conforme Figura 1-I. No lugar de força, emprega-se a grandeza tensão (força por área), procedimento usual em análise de deformações.

Então, sob ação de uma tensão de cisalhamento τ, a camada superior se desloca dx em relação à inferior (dX é a largura comum de ambas as camadas). A velocidade da camada inferior (c) aumenta para (c + dc) na superior. Considera-se a grandeza deformação por cisalhamento γ igual à relação entre a deformação horizontal e a altura da camada deformada:

$$\gamma = {dx \over dy} \tag{1A}$$
Derivando em relação ao tempo, dγ / dt = dx / (dy dt) = (dx / dt) / dy. Mas dx / dt é a variação de velocidade dc entre camadas:

$${d\gamma \over dt} = {dc \over dy} \tag{1B}$$
Camadas de um fluido sob ação de cisalhamento
Fig 1-I

A grandeza dγ / dt pode ser vista como a velocidade da deformação de cisalhamento. Experimentalmente verificou-se que há uma proporcionalidade entre a tensão e essa grandeza:

$$\tau = \eta\ {d\gamma \over dt} \tag{1C}$$
Essa relação é denominada Lei da Viscosidade de Newton (por isso, um fluido que obedece a essa lei é denominado fluido newtoniano). O fator de proporcionalidade η é a viscosidade absoluta ou viscosidade dinâmica do fluido. Considerando a igualdade anterior (1B), pode-se substituir em (1C):

$$\tau = \eta\ {dc \over dy} \tag{1D}$$
A viscosidade cinemática ν é a relação entre a viscosidade dinâmica e a massa específica (ρ):

$$\nu = {\eta \over \rho} \tag{1E}$$
A relação (1C) pode ser entendida como uma evidência matemática da diferença prática entre sólidos e fluidos já comentada em página anterior: nos primeiros, a força (ou tensão) determina a intensidade da deformação e, nos segundos, a velocidade da deformação.

As unidades do Sistema Internacional (SI) para ambos as grandezas de viscosidade podem ser deduzidas por simples análise dimensional.

Unidade SI Outras
Viscosidade dinâmica N s / m2 ou Pa s. Também denominada poiseuille (PI) A unidade não SI poise equivale a 10−1 N s/m2
Viscosidade cinemática m2 / s A unidade não SI stoke (St) equivale a 10−4 m2/s

Tabela para viscosidades cinemáticas aproximadas a 20°C de alguns líquidos. Em centistokes (= 10−2 St = 10−6 m2/s).

Líquido Água Leite Óleo combustível Óleo vegetal Óleo SAE-10
ν (cSt) 1 4 16 43 110
Líquido Óleo SAE-30 Glicerina Óleo SAE-50 Mel Óleo SAE-70
ν (cSt) 440 650 1735 2200 19600


2) Camada Limite

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Supõe-se escoamento uniforme, com velocidade constante em cada ponto. Assim, a resultante das forças atuantes em cada camada deve ser nula. Na Figura 1-I, p + dp e p são as pressões atuantes em cada extremidade da camada. O resultado líquido é dp e a força decorrente é dp dy Z. Para a tensão de cisalhamento, deve-se considerar uma variação entre camadas e, portanto, uma força dτ dX Z. Para resultante nula, dp dy Z + dτ dX Z = 0. De outra forma, dp dy − dτ dX = 0. Reagrupando,

$${d\tau \over dy} = {dp \over dX} \tag{2A}$$
No escoamento de fluidos, é usual supor que a diferença de pressão dp varia linearmente com a distância. Assim, para um determinado fluido e escoamento, dp/dX = k (constante). Substituindo τ de (1D) em (2A),

d( η dc/dy )dy = η d2cdy2 = k  onde k = dpdX (constante)

Essa equação diferencial pode ser resolvida pela dupla integração, chegando-se ao resultado:

$$\tfrac{k}{2} y^2 = \eta c + Ay + B \tag{2B}$$
As constantes de integração A e B precisam ser determinadas a partir das condições de contorno. Na maioria dos casos práticos, o escoamento é limitado por uma superfície sólida (paredes do conduto). Se y = 0 é um ponto na parede, deve-se ter c = 0. Portanto, B = 0. A velocidade c não pode aumentar indefinidamente. Assim, deve existir uma altura y = e, onde a velocidade atinge um máximo c0. Substituindo em (2B), obtem-se: A = k2 e − η c0e

Camada limite do escoamento de um fluido viscoso
Fig 2-I

Substituindo os valores de A e B em (2B) e reagrupando,

$$c = {k \over 2 \eta} y^2 - \left({e\ k \over 2 \eta} - {c_0 \over e} \right) y\\\text{Onde}\quad k = {dp \over dX}\quad \text{(constante)} \tag{2C}$$
O resultado é a expressão matemática de uma parábola e há uma infinidade de valores para e. Mas é apenas uma aproximação, porque, na realidade, os escoamentos não se comportam rigorosamente de acordo com as hipóteses presumidas. Na prática considera-se que, para y = e, deve-se ter:

$$c = 0,99\ c_0 \tag{2D}$$
Onde c0 é a velocidade do fluxo. Dize-se então que esse valor (e) define a espessura da camada limite do escoamento. É um conceito importante no estudo dos escoamentos, uma vez que é possível supor a existência de gradientes de velocidade apenas no interior da camada limite. Uma distribuição típica de velocidades na camada limite pode ser vista no gráfico da Figura 2-I.
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Cohen, Y. Mass Transfer Fundamentals. Los Angeles, University of California.
Costa, E. C. Mecânica dos Fluidos. Porto Alegre, Globo, 1973.
Dunn, D. J. Fluid Mechanics. Site www.freestudy.co.uk.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

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