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Fluidos A-VI

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Tópicos: Escoamento de um Fluido Ideal | Equação de Bernoulli em Termos de Pressões | Mudança de Seção |


1) Escoamento de um Fluido Ideal

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Para o escoamento sem atrito de um fluido incompressível ideal, vale a equação desenvolvida por Daniel Bernoulli:

$$h + {p \over \rho g} + {c^2 \over 2g} = H\quad \text{(constante)} \tag{1A}$$
h: altura em relação a um plano de referência
p: pressão
ρ: massa específica
g: aceleração da gravidade
c: velocidade

Essa igualdade é a lei da conservação da energia aplicada ao escoamento. Desde que ele ocorre sem atrito, não há troca de energia com o meio e a energia total do fluido permanece constante. As parcelas têm dimensão de comprimento e podem ser entendidas como alturas, em relação a um plano de referência, representativas das formas de energia presentes no escoamento:

henergia potencial da massa do fluido
pρgenergia devido à compressão com volume constante
c22genergia cinética devido à velocidade adquirida

Escoamento de um fluido ideal
Fig 1-I

Na Figura 1-I, esquema de um escoamento simples de um líquido, considerando pressões relativas, isto é, pressão nula significa pressão atmosférica. Considera-se o reservatório continuamente abastecido e, assim, no ponto 0, o fluido está em repouso. Portanto, nesse ponto, toda energia do fluido é a energia potencial representada pela altura física h0 e as demais parcelas são nulas. No ponto 1, a energia potencial é menor (h1) e o fluido tem uma determinada pressão e velocidade. No ponto 2, a energia potencial é ainda menor (h2) e o fluido tem maior pressão e velocidade. As colunas de líquido nos pontos 1 e 2 têm alturas correspondentes às energias de pressão em cada ponto, conforme indicado na figura.


2) Equação de Bernoulli em Termos de Pressões

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Em (1A), multiplicando ambos os lados por ρ g,

$$h\rho g + p + {c^2\rho \over 2} = H\rho g\quad\text{(constante)} \tag{2A}$$
hρg pressão estática
ppressão
c2ρ2pressão dinâmica
Hρgpressão total

Exemplo de uso na formulação do Tubo de Pitot.


3) Mudança de Seção

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No escoamento da Figura 3-I, o ponto 2 tem uma seção transversal menor que a seção de 1. Desde que o fluido é supostamente incompressível, a vazão volumétrica é a mesma nos dois pontos. Assim,

$$Q = {\pi D_1^2 c_1 \over 4} = {\pi D_2^2 c_2 \over 4}\\\therefore\quad {c_1 \over c_2} = \left({D_2 \over D_1} \right)^2 \tag{3A}$$
Isso demonstra que uma redução de seção provoca um aumento da velocidade do fluido. Desde que o escoamento é horizontal, a pressão estática é a mesma em ambos os pontos e a equação de Bernoulli é escrita:

$$p_1 + {c_1^2 \rho \over 2} = p_2 + {c_2^2 \rho \over 2} \tag{3B}$$
Mudança de seção de um escoamento
Fig 3-I

Nota-se que o aumento de velocidade na seção estrangulada é compensado pela menor pressão dinâmica. Se fossem instaladas colunas de líquido em cada, a redução da pressão dinâmica seria claramente observada, conforme indicado na figura.

Seja um fator R definido por:

$$R = \left({D_2 \over D_1} \right)^2 \tag{3C}$$
Conforme (3A), c2 = c1 / R. Substituindo c2 na equação de Bernoulli, p1 + c12 ρ / 2 = p2 + c12 ρ / 2 R2. Isolando o valor de c1,

$$c_1 = \sqrt{2(p_2-p_1) \over \rho \left(1 - 1\big/R^2\right)} \tag{3D}$$
Assim, é possível determinar a vazão Q com uso de (3A). Ou seja, uma variação de seção possibilita a determinação da vazão a partir da leitura das pressões dinâmicas em orifícios na parede da tubulação. Apesar da suposição de um fluido ideal, o resultado é aceitável para muitos fluidos reais e, nesses casos, podem ser usados fatores ou tabelas de correção para melhor precisão.
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Cohen, Y. Mass Transfer Fundamentals. Los Angeles, University of California.
Costa, E. C. Mecânica dos Fluidos. Porto Alegre, Globo, 1973.
Dunn, D. J. Fluid Mechanics. Site www.freestudy.co.uk.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Set/2018