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Fluidos - Equação da Continuidade

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Tópicos: Modelo e Formulação | Notas sobre Operador Divergência |

1) Modelo e Formulação

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O cubo da Figura 1-I representa um volume elementar dV de uma corrente de fluido em regime estacionário. Assim,

$$dV = dx\ dy\ dz \tag{1A}$$
Em cada face, ρ e ui são respectivamente a massa específica e velocidade normal do fluido. Apesar do uso dos mesmos símbolos em faces opostas, esses parâmetros não são necessariamente constantes.

Em um intervalo de tempo Δt, a massa que entra ou sai em uma face é dada pelo produto: massa específica × velocidade normal a essa face × lado da segunda face × lado da terceira face × intervalo de tempo. Então, considerando o tempo inicial igual a zero, a variação de massa no volume dV é a soma das diferenças:

$$\big[\rho dV\big]_{t = \Delta t} - \big[\rho dV\big]_{t = 0} = \\ \big[\rho u_x dy dz \Delta t \big]_{x=0} - \big[\rho u_x dy dz \Delta t \big]_{x=dx} +\\ \big[\rho u_y dx dz \Delta t \big]_{y=0} - \big[\rho u_y dx dz \Delta t \big]_{y=dy} +\\ \big[\rho u_z dx dy \Delta t \big]_{z=0} - \big[\rho u_z dx dy \Delta t \big]_{z=dz} \tag{1B}$$

Volume elementar de uma corrente de fluido
Fig 1-I

Considerando (1A),

$$dV \Delta t = dx\ dy\ dz\ \Delta t \tag{1C}$$
Dividindo (1B) por (1C) e simplificando,

$$\frac{\rho u_x |_{x=0} - \rho u_x |_{x=dx}}{dx} + \frac{\rho u_y |_{y=0} - \rho u_y |_{y=dy}}{dy} + \frac{\rho u_z |_{z=0} - \rho u_z |_{z=dz}}{dz} = \frac{\rho|_{t=\Delta t}- \rho|_{t=0}}{\Delta t} \tag{1D}$$

Essa equação pode ser escrita em termos de derivadas parciais:

$$- \frac{\partial(\rho u_x)}{\partial x} - \frac{\partial(\rho u_y)}{\partial y} - \frac{\partial(\rho u_z)}{\partial z} = - \frac{\partial \rho}{\partial t} \tag{1E}$$

Lembrando das definições de operadores vetoriais, o lado esquerdo da equação acima é a divergência do produto $\rho \vec u$. Chega-se assim à formulação final da equação da continuidade de um fluxo:

$$\nabla \cdot (\rho \vec u) = - \frac{\partial \rho}{\partial t} \tag{1F}$$
ρ: massa específica
$\vec u$: velocidade

Se o fluido é incompressível, ρ = constante, a equação fica reduzida a:

$$\nabla \cdot (\rho \vec u) = 0 \tag{1G}$$

2) Notas sobre Operador Divergência

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Em coordenadas cartesianas (x, y , z):

$$\nabla \cdot \vec u = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \tag{2A}$$
Em coordenadas cilíndricas (r, θ, z):

$$\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{r} \frac{\partial (r u_r)}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \tag{2B}$$
Em coordenadas esféricas (r, θ, ϕ):

$$\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{r^2} \frac{\partial (r^2 u_r)}{\partial r} + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial (u_\theta \sin \theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{\ r \sin \theta} \frac{\partial u_\phi}{\partial \phi} \tag{2C}$$
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Costa, E. C. Mecânica dos Fluidos. Porto Alegre, Globo, 1973.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Mai/2018