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Análise Dimensional IV

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Tópicos: Similaridade | Exemplo da Perda de Pressão | Parâmetros Adimensionais |

1) Similaridade

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Esse conceito intuitivo pode ser visto nos polígonos (a) e (b) da Figura 1-I. Eles não são iguais nem regulares, mas têm o mesmo número de vértices e os ângulos são os mesmos em cada. Nessa condição, ocorre a similaridade geométrica, ou seja, um objeto tem a mesma forma do outro, mas reduzida ou ampliada por um fator de escala. O uso de modelos em escala reduzida no estudo de fenômenos físicos ou em projetos é um artifício que economiza tempo e recursos financeiros.

A similaridade geométrica entre o modelo e o protótipo é condição necessária, mas não é suficiente. A similaridade dinâmica deve também ocorrer para que o fenômeno físico do modelo represente o mesmo no protótipo.

Similaridade geométrica
Fig 1-I

Segundo o Teorema de Buckingham (teorema dos πs), um fenômeno físico genérico pode ser dado em função de parâmetros adimensionais:

$$\Pi_1 = \phi(\Pi_2, \cdots ,\Pi_{n-k}) \tag{1A}$$
As grandezas Π2,...,Πn−k são também denominadas parâmetros de similaridade. Assim (considerando m modelo e p protótipo), os fenômenos devem ter esses valores iguais, de forma que o modelo represente o protótipo:

$$\Pi_{2 m} = \Pi_{2 p},\ \Pi_{3 m} = \Pi_{3 p}, \cdots \tag{1B}$$
E o resultado também é similar:

$$\Pi_{1 m} = \Pi_{1 p} \tag{1C}$$

2) Exemplo da Perda de Pressão

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De acordo com a Equação de Darcy-Weisbach é possível escrever a perda de pressão do escoamento laminar em uma tubulação na forma de grandezas adimensionais:

$$\left(\frac{\Delta p}{c^2 \rho} \right) = \Phi \left[ \left(\frac{\ell}{D} \right), \left(\frac{1}{Re} \right) \right] \tag{2A}$$
Δ p perda de pressão
c velocidade
ρ massa específica do fluido
comprimento do tubo
D diâmetro do tubo
$$Re = \frac{c D \rho}{\eta}$$ número de Reynolds
η viscosidade dinâmica do fluido


Supõe-se que será construído um modelo em escala 1:10 para um projeto de uma tubulação para óleo, com ℓ = 100 m, D = 0,25 m e velocidade do escoamento c = 0,5 m/s. Determinar a velocidade que o mesmo líquido deve ter no modelo para obter a similaridade dinâmica. Se, no ensaio, o modelo apresentou uma perda de pressão de 1000 kPa com essa velocidade, determinar a perda na tubulação projetada.

Na escala do modelo, a relação ℓ/D de (2A) é preservada. Deve-se agora analisar o número de Reynolds:

$$\left(\frac{c D \rho}{\eta}\right)_m = \left(\frac{c D \rho}{\eta}\right)_p \tag{2B}$$
Desde que o fluido é o mesmo, ρ e η podem ser eliminados. Assim,

$$(c\ D)_m = (c\ D)_p \\ c_m\ D/10 = 0,5\ D \therefore c_m = 5\ \text{m/s} \tag{2C}$$
Igualando o termo do lado esquerdo de (2A),

$$[\Delta p\big/(c^2 \rho)]_m = [\Delta p\big/(c^2 \rho)]_p\\ 1000 \big/ 25 = \Delta p \big/ 0,25 \tag{2D}$$
Portanto, Δp = 10 kPa para a tubulação projetada.


3) Parâmetros Adimensionais

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A tabela a seguir lista algumas grandezas adimensionais comuns que podem ser usadas em análises de similaridade.

Nome Fórmula Aproximação Observações
Número de Euler $$Eu = \frac{\Delta p}{\rho c^2}$$ $$\frac{\text{pressão}}{\text{inércia}}$$ Casos comuns de escoamentos
Número de Freude $$Fr = \frac{c}{\sqrt{\ell g}}$$ $$\frac{\text{inércia}}{\text{gravidade}}$$ Escoamentos livres (ação da gravidade)
Número de Mach $$Ma = \frac{c}{c_{som}}$$ $$\frac{\text{inércia}}{\text{compressão}}$$ Escoamentos compressíveis
Número de Reynolds $$Re = \frac{c D \rho}{\eta}$$ $$\frac{\text{inércia}}{\text{viscosidade}}$$ Escoamentos internos, influência da camada-limite
Número de Strouhal $$St = \frac{\omega \ell}{c}$$ $$\frac{\text{centrífuga}}{\text{inércia}}$$ Escoamentos com repetições periódicas
Número de Weber $$We = \frac{\rho c^2 \ell}{\sigma}$$ $$\frac{\text{inércia}}{\text{superfície}}$$ Influência da tensão superficial

c velocidade
D diâmetro
Δ p perda de pressão
η viscosidade dinâmica do fluido
g aceleração da gravidade
comprimento característico
ρ massa específica
σ tensão superficial
ω frequência angular


Exemplo: deseja-se analisar o efeito de ondas com velocidade c = 10 m/s em um navio de comprimento ℓ = 100 m por meio de um modelo de comprimento ℓ' = 4 m. Determinar a velocidade c' para as ondas nesse modelo.

Usando o número de Freude, Fr = c / √(ℓ g) = c' / √(ℓ' g). Substituindo os valores, 10 / √(100 g) = c' / √(4 g). Resolvendo, c' = 2 m/s.
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
National Institute of Standards and Technology. Guide for the Use of the International System of Units (SI).

Topo | Rev: Mai/2018