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Análise Dimensional III

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Tópicos: Pêndulo Simples | Esfera em Meio Fluido |

1) Pêndulo Simples

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Desprezando os atritos, pode-se a princípio supor que as grandezas envolvidas na oscilação de um pêndulo comum conforme Figura 1-I são:

g: aceleração da gravidade
ℓ: comprimento da haste
m: massa do pêndulo
T: período de oscilação

Assim, n = 4 grandezas. As dimensões dessas grandezas são:

$$\dim g = \mathsf{L T^{-2}}\\ \dim \ell = \mathsf{L}\\ \dim m = \mathsf{M}\\ \dim T = \mathsf{T} \tag{1A}$$
Pêndulo Simples
Fig 1-I

Há, portanto, k = 3 grandezas básicas (LMT). Segundo Teorema de Buckingham (teorema dos πs, conforme página anterior), deve haver 4 − 3 = 1 grandezas adimensionais, que representa o processo, na forma F(Π) = 0, onde Π = gab mc Td. Desde que é adimensional, a substituição das dimensões individuais deve resultar na unidade:

$$\dim \Pi = \mathsf{ (L T^{-2})^a (L)^b (M)^c (T)^d} = 1 \tag{1B}$$
Os expoentes podem ser facilmente deduzidos, com os resultados: a = 1 | b = −1 | c = 0 | d = 2. Portanto, a função a seguir deve representar o fenômeno:

$$F(g T^2 \big/ \ell) = 0 \tag{1C}$$
Uma solução lógica é:

$$g T^2 \big/ \ell = k^2 \tag{1D}$$
Através do desenvolvimento teórico ou de medições práticas, pode ser visto que k = 2 π. Assim,

$$T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} \tag{1E}$$
Essa é a função que dá o período de oscilação de um pêndulo simples para pequenos deslocamentos e na ausência de atritos.


2) Esfera em Meio Fluido

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Seja, conforme Figura 2-I, uma esfera que se move com velocidade constante em um meio de fluido viscoso. Para determinar a relação com a força de resistência ao movimento F, consideram-se as grandezas que têm influência no processo:

c: velocidade da esfera
D: diâmetro da esfera
η: viscosidade dinâmica do fluido
F: força de resistência ao movimento
ρ: massa específica do fluido

Portanto, n = 5 grandezas. As suas dimensões são:

$$\dim c = \mathsf{LT^{-1}}\\ \dim D = \mathsf{L}\\ \dim \eta = \mathsf{ML^{-1}T^{-1}}\\ \dim F = \mathsf{MLT^{-2}}\\ \dim \rho = \mathsf{ML^{-3}} \tag{2A}$$
Usando uma formulação conforme Teorema de Buckingham da página anterior,

$$F = \phi(c, D, \eta, \rho) \tag{2B}$$
Considerando essa função uma constante multiplicada pelo produto das grandezas com expoentes,

$$F = K c^r D^s \eta^t \rho^u \tag{2C}$$
Esfera em Meio Fluido
Fig 2-I

Fazendo a igualdade dimensional,

$$\mathsf{ MLT^{-2} = L^r T^{-r} L^s M^t L^{-t} T^{-t} M^u L^{-3u}\\ = M^{t+u} L^{r+s-t-3u} T^{-r-t} } \tag{2D}$$

Portanto,

$$1 = t + u\\ 1 = r + s - t - 3u\\ -2 = -r - t \tag{2E}$$
O conjunto acima tem mais incógnitas que equações e, portanto, não há uma única solução. Em razão de a força resistente ser relacionada com a viscosidade, os expoentes são determinados em relação ao expoente de η, isto é, t:

$$u = 1 - t\\ r = 2 - t\\ 1 = 2 - t + s - t - 3 + 3t\ \therefore s = 2 - t\ \tag{2F}$$

Substituindo na relação anterior,

$$F = K c^{2-t} D^{2-t} \eta^t \rho^{1-t} \tag{2G}$$
Reagrupando,

$$\frac{F}{c^2 D^2 \rho} = K \left(\frac{c D \rho}{\eta}\right)^{-t} \tag{2H}$$
As frações em ambos os lados são grandezas adimensionais, confirmando o teorema de Buckingham, ou seja, para as n = 5 grandezas iniciais, há k = 3 básicas (LMT), resultando em n − k = 2 parâmetros adimensionais. Na relação anterior, define-se o termo entre parênteses no lado direito:

$$Re = \frac{c D \rho}{\eta} \tag{2I}$$
Re é denominado número de Reynolds, importante grandeza no estudo de escoamentos em geral.
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
National Institute of Standards and Technology. Guide for the Use of the International System of Units (SI).

Topo | Rev: Mai/2018