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Análise Dimensional II

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Tópicos: Relações Físicas, Homogeneidade, Constantes Físicas | Teorema de Buckingham (teorema dos πs) |

1) Relações Físicas, Homogeneidade, Constantes Físicas

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Muitos fenômenos físicos podem ser representados por uma grandeza G como função de uma ou mais grandezas G1, G2 ... Gn. Então, a relação ou equação física genérica é:

$$G = f(G_1, G_2 \cdots G_n) \tag{1A}$$
Essa relação só pode ser relevante se ambos os lados têm a mesma dimensão, ou seja, a equação deve ser dimensionalmente homogênea. Pode-se relacionar alguns aspectos que garantem a homogeneidade dimensional de uma relação física:

• Ambos os lados devem ter a mesma dimensão.

• Todos os termos de parcelas de soma ou subtração que existirem em f devem ter a mesma dimensão.

• Argumentos de funções logarítmicas, exponenciais, trigonométricas e outras especiais devem ser adimensionais.

Exemplo 1-I: na Figura 1-I (a), um corpo, supostamente no vácuo, é deixado em queda livre a partir do repouso. Segundo relações da mecânica, a distância vertical percorrida y em função da aceleração da gravidade g e do tempo t é dada por:

$$y = \frac{1}{2} g t^2 \tag{1A}$$
Essa relação é homogênea porque dim y = L e o outro lado dim (1/2) g t2 = L T−2 T2 = L. Se, em vez da fórmula teórica, é feita uma medição da distância em função do tempo, dependendo do local e da precisão do método, pode-se chegar a um resultado como este:

$$y = 4,905\ t^2 \tag{1B}$$
Essa relação pode parecer inválida porque y e t têm dimensões distintas. Entretanto, deve-se notar que o valor 4,905 não é uma constante de proporcionalidade adimensional. Equivale a (1/2) g da equação anterior e, portanto, tem dimensão L T−2. Para locais próximos da superfície terrestre, o valor de g pouco varia e pode ser considerado uma constante física. Da relação anterior, g = 9,81 m/s2, que é a aproximação usual. O valor normalizado é 9,80665 m/s2.

Observa-se que constantes físicas normalmente têm dimensão e, por consequência, seus valores dependem das unidades. Neste caso da aceleração da gravidade, o valor de 9,81 m/s2 equivale, por exemplo, a 32,19 ft/s2.

Voltando à igualdade (1A), y = (1/2) g t2, nota-se que o único valor numérico invariável é a constante de proporcionalidade 1/2, que é adimensional. No caso de g, a grandeza aceleração da gravidade é suposta constante, mas seu valor numérico depende das unidades adotadas, porque não é adimensional.

Exemplos de análise dimensional
Fig 1-I

Exemplo 1-II: seja a situação (b) da Figura 1-I. Em uma determinada região foi observado que a pressão atmosférica p (em N/m2) varia com a altitude h (em m) segundo a relação:

$$p = 1,01 \times 10^5 \mathrm e^{−0,00012\ h} \tag{1C}$$
Essa relação vale para um local em particular. Por analogia, pode-se generalizar e dizer que a pressão atmosférica varia com a altitude segundo a equação (onde a e b são constantes que dependem do local):

$$p = a\ \mathrm e^{−b\ h} \tag{1D}$$
No aspecto dimensional, deve-se ter, conforme regra anterior, dimensão unitária do expoente. Portanto, dim b = L−1. E a dimensão de a deve ser pressão para homogeneidade da fórmula dim a = L−1 M T−2.

Observa-se que, além da homogeneidade dimensional, deve haver coerência de unidades. Assim, no caso particular de (1C), considerando as unidades informadas de p e de h, tem-se b = 0,00012 m−1 e a = 1,01 × 105 N/m2.

Dos exemplos anteriores, pode-se verificar que as constantes g, a e b podem variar de acordo com o local e época porque o planeta Terra não é homogêneo. Ou seja, elas são válidas para determinadas condições. Há também as constantes físicas universais (velocidade da luz no vácuo, massa do elétron, constante dos gases, etc), cujas grandezas independem de quaisquer condições. No entanto, seus valores numéricos continuam dependendo das unidades adotadas.

A homogeneidade dimensional é uma condição necessária para uma equação física válida, mas não é suficiente. Ou seja, uma fórmula pode estar dimensionalmente correta e não representar a relação real entre as grandezas.


2) Teorema de Buckingham (teorema dos πs)

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Seja um fenômeno físico representado por uma função genérica de n grandezas:

$$f(G_1, G_2,\cdots,G_n) = 0 \tag{2A}$$
De outra forma,

$$G_1 = \phi(G_2,\cdots,G_n) \tag{2B}$$
Se as n grandezas podem ser expressas em termos de k grandezas independentes, a relação acima é equivalente a:

$$F(\Pi_1, \Pi_2,\cdots,\Pi_{n−k}) = 0 \tag{2C}$$
De outra forma,

$$\Pi_1 = Φ(\Pi_2,\cdots,\Pi_{n−k}) \tag{2D}$$
Onde Πi são números adimensionais formados a partir das grandezas originais:

$$\Pi_i = G_1^{i_1}\ G_2^{i_2} \cdots G_n^{i_n} \tag{2E}$$
Onde os expoentes i1, i2, ..., in são números racionais.

Exemplo: seja, conforme Figura 2-I (a), uma esfera de material perfeitamente elástico que se choca com uma superfície perfeitamente rígida. Supondo a esfera revestida com uma tinta úmida, após o choque haverá uma marca circular na superfície, como em (b) da figura. Deseja-se saber a relação entre o diâmetro d dessa marca e outras grandezas físicas envolvidas no processo (desprezam-se os efeitos do ar).

Solução: desde que a superfície é perfeitamente rígida, ela não deve ter propriedades que possam influenciar. A princípio, pode-se listar as grandezas que têm relação com o choque:

c: velocidade da esfera antes do choque
D: diâmetro da esfera
E: módulo de elasticidade do material da esfera
m: massa da esfera
μ: coeficiente de Poisson do material da esfera
ρ: massa específica do material da esfera

Exemplo de análise dimensional
Fig 2-I

Entretanto esse conjunto não é independente porque a massa é função do diâmetro e da massa específica. Assim, uma dessas três grandezas deve ser retirada para formar um conjunto independente. Escolhe-se, por exemplo, a massa m para exclusão. Pode-se então dizer que o diâmetro d da área marcada é função das seguintes grandezas independentes:

$$d = f(c, D, E, \mu, \rho) \tag{2A}$$
As dimensões das grandezas são:

$$\dim d = \mathsf{L}\\ \dim c = \mathsf{LT^{-1}}\\ \dim D = \mathsf{L}\\ \dim E = \mathsf{ML^{-1}T^{-2}}\\ \dim \mu = \mathsf{1}\\ \dim \rho = \mathsf{ML^{-3}} \tag{2B}$$
Analisa-se agora o aspecto da dependência dimensional:

$$\dim d = \mathsf{L} = \dim D\\ \dim E = \mathsf{ML^{-1}T^{-2}} = \mathsf{ML^{-3} (LT^{-1})^2} = \dim \rho\ (\dim c)^2\\ \dim \mu = \mathsf{1} \tag{2C}$$

Formam-se grupos adimensionais para essas grandezas:

$$\Pi_0 = \frac{d}{D}\\ \Pi_1 = \frac{E}{\rho c^2}\\ \Pi_2 = \mu \tag{2D}$$
De acordo com o teorema de Buckingham, $\Pi_0 = f(\Pi_1, \Pi_2)$. Substituindo,

$$\frac{d}{D} = f\left(\frac{E}{\rho c^2}, \mu \right) \tag{2E}$$
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
National Institute of Standards and Technology. Guide for the Use of the International System of Units (SI).

Topo | Rev: Mai/2018