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Análise Dimensional I

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Tópicos: Grandezas básicas, Unidades, Dimensões |

1) Grandezas básicas, Unidades, Dimensões

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De forma simples, define-se grandeza física como uma propriedade observável que pode ser expressa em termos quantitativos. Uma grandeza física deve obedecer a princípios aritméticos usuais de números. Sejam, por exemplo, A1, A2 e A3 grandezas da mesma espécie.

• Adição e subtração: se A1 + A2 = A3, então A1 = A3 − A2

• Comparação: se A1 + A2 = A3 e A2 é finito e positivo, então A3 > A1

• Multiplicação e divisão: se A2 = A1 + A1 + A1, então A2 = 3A1 ou A1 = A2/3

O valor numérico de uma grandeza observada depende da unidade, isto é, da referência adotada. No exemplo da Figura 1-I, A é a distância observada entre dois pontos fixos O e P. Pode-se usar uma unidade u e o valor numérico de A é um número N tal que:

$$A = N\ u \tag{1A}$$
Ou se pode uma usar uma unidade u' e um valor numérico N' tal que:

$$A = N' u' \tag{1B}$$
Comprimento
Fig 1-I

Se a unidade u' é n vezes maior que u, isto é,

$$u' = n\ u \tag{1C}$$
Então,

$$N' = n^{−1} N \tag{1D}$$
Há, portanto, dois aspectos distintos no caso: a grandeza física distância (ou comprimento) A entre os pontos O e P (que é invariável se os pontos são fixos) e o valor numérico dessa grandeza, que depende da unidade adotada.

As grandezas básicas formam um conjunto, normalmente pequeno, em relação ao qual as demais grandezas são definidas. Estas últimas são denominadas grandezas derivadas. Uma grandeza derivada genérica G pode sempre ser definida segundo a fórmula:

$$G = \alpha\ A^a B^b C^c \cdots \tag{1E}$$
Onde o coeficiente α e os expoentes a, b, c, … são números reais e A, B, C, etc são grandezas básicas. O conceito de dimensão indica as grandezas básicas e os respectivos expoentes que formam a grandeza derivada, ou seja, pode ser considerada a fórmula anterior sem o coeficiente α. Em termos dimensionais, a fórmula anterior fica:

$$\dim G =\mathsf{ [A]^a [B]^b [C]^c } \cdots \tag{1F}$$
A dimensão de uma grandeza básica é a própria. A tabela a seguir dá as grandezas básicas definidas pelo Sistema Internacional, os símbolos dimensionais comumente usados e as respectivas unidades básicas.

Grandeza física Símbolo da dimensão Unidade SI Símbolo da unidade SI
Comprimento L metro m
Massa M quilograma kg
Tempo T segundo s
Corrente elétrica I ampère A
Temperatura termodinâmica θ kelvin K
Quantidade de matéria N mol mol
Intensidade luminosa J candela cd

Usando raciocínio idêntico ao da transformação dada pelas igualdades anteriores, pode-se deduzir: se a unidade da grandeza A é multiplicada por nA, da grandeza B por nB, etc, e o valor numérico de G era N, o novo valor N' é dado por:

$$N' = n^{−1} N\quad \text{onde } n = n_A^a\ n_B^b\ n_C^c \cdots \tag{1G}$$
Exemplos

• Se A é uma grandeza de comprimento, a dimensão de A é dada por dim A = L

• Se c é uma grandeza de velocidade, c = comprimento / tempo, portanto, dim c = L/T = L T−1

• Se a é aceleração, a = velocidade / tempo e dim a = L T−1/T = L T−2

• Se F é força, F = massa × aceleração e dim F = L M T−2

• Se S é área, S = comprimento × comprimento e dim S = L2

• Se p é pressão, p = força / área e dim p = L M T−2/L2 = L−1 M T−2

Portanto, a dimensão de uma grandeza derivada é obtida pela substituição, na relação que a define, das grandezas básicas pelas respectivas dimensões, mantendo-se os expoentes e desprezando-se o coeficiente de proporcionalidade se existir. Se houver grandezas derivadas na relação, o mesmo procedimento é adotado para essas e o resultado final deve ser simplificado matematicamente.

Embora sejam considerados sinônimos em muitas citações práticas, os conceitos de dimensão e de unidade são tecnicamente distintos. Algumas propriedades das grandezas e dimensões:

• A dimensão de uma grandeza derivada é sempre um produto de potências das dimensões das grandezas básicas que a formam.

• Somas de grandezas de mesma dimensão são grandezas com a mesma dimensão. Produtos e divisões de grandezas são também grandezas derivadas, com dimensões normalmente diferentes das originais.

• Todas as grandezas de mesma dimensão mudam seus valores na mesma proporção quando os valores das unidades básicas são mudados.

• Funções não lineares (como logarítmicas, exponenciais, trigonométricas) de grandezas derivadas não são em geral grandezas derivadas.

• Uma grandeza é dita adimensional se o resultado final da dimensão é unitário. Exemplo: seja x = c t / l, onde c é velocidade, t é tempo e l é comprimento. Então dim x = L T−1 T / L = 1
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
National Institute of Standards and Technology. Guide for the Use of the International System of Units (SI).

Topo | Rev: Mai/2018