Anotações & Informações | Fim pág | Voltar |

Medições - Conceitos Básicos V

| Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Tópicos: Combinação de Incertezas - Grandezas Parcialmente Dependentes |

1) Combinação de Incertezas - Grandezas Parcialmente Dependentes

(Topo | Fim pág)

Em páginas anteriores, foram examinados métodos separados para combinação de incertezas de grandezas dependentes e de grandezas independentes. Há, entretanto, casos em que ambas as situações estão presentes. Exemplo: o volume de um paralelepípedo é calculado a partir das medições de duas dimensões com o mesmo instrumento e de uma dimensão com outro instrumento. Há, portanto, a combinação de duas grandezas dependentes entre si e de uma terceira delas independente.

Numa situação genérica, deve ser possível calcular a incerteza combinada a partir de uma relação matemática entre grandezas, dos resultados das medições e de parâmetros estatísticos que identifiquem as relações de dependência. A fórmula correspondente é dada a seguir.

$$[u(g)]^2 = \sum_i\left[{\partial f\over\partial x_i}u(x_i)\right]^2 + \sum_j \sum_{k>j}{\partial f\over\partial x_j} u(x_j) {\partial f\over\partial x_k} u(x_k)\ r(x_j,x_k) \tag{1A}$$


ggrandeza resultante das medições xi, ou seja, g = f( x1, x2, ... )
u(g)incerteza combinada de g
u(xi)incerteza da medição da grandeza xi
r(xj, xk)coeficiente de correlação entre xj e xk

Se todas as grandezas são independentes, r(xj, xk) = 0, e a parcela do duplo somatório da igualdade (1A) é nula. Assim, ela se reduz à formula dada em página anterior para grandezas independentes. Também pode ser notado que a incerteza aumenta se ocorre dependência.

Caso particular

Sejam g = f(x1, x2, x3) e os coeficientes de correlação:

r(x1, x2) = 1
r(x1, x3) = r(x2, x3) = 0

Isso significa que as grandezas x1 e x2 são dependentes e x3 é independente. Para esse caso, a fórmula anterior fica reduzida a:

$$[u(g)]^2 = \left[{\partial f\over\partial x_1}u(x_1)+{\partial f\over\partial x_2}u(x_2)\right]^2 + \left[{\partial f\over\partial x_3}u(x_3)\right]^2 \tag{1B}$$

Exemplo: seja um paralelepípedo medido conforme tabela a seguir.

DimensãoResultadoInstrumento usado
Altura(20,000 ± 0,005) mmMicrômetro
Largura(25,000 ± 0,005) mmMesmo anterior
Comprimento(100,00 ± 0,03) mmPaquímetro


Para o cálculo da incerteza combinada do volume, considera-se a correspondência com a relação (1B) anterior:

$$g = f(x_1, x_2, x_3) = x_1 x_2 x_3\\x_1 = 20,000 \quad u(x_1) = 0,005\\x_2 = 25,000\quad u(x_2) = 0,005\\x_3 = 100,00\quad u(x_3) = 0,03$$
As derivadas parciais são:

$${\partial f \over \partial x_1}=x_2x_3\quad{\partial f \over \partial x_2}=x_1x_3\quad {\partial f \over \partial x_3}=x_1x_2$$

Substituindo esses valores em (1B) e dividindo tudo por x1 x2 x3, a igualdade é simplificada para:

$$\left[{u(g)\over x_1x_2x_3}\right]^2 = \left[{u(x_1)\over x_1}+{u(x_2)\over x_2}\right]^2 + \left[{u(x_3)\over x_3}\right]^2$$

O volume é g = x1 x2 x3 = 20,000 25,000 100,00 = 50000 mm3. Substituindo esse e os demais valores na igualdade, obtém-se o resultado u(g) ≈ 27 mm3.
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
EA-4/02 Expression of the Uncertainty of Measurement in Calibration. European Co-operation for Accreditation, 1999.

Topo | Rev: Mai/2018