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Medições - Conceitos Básicos IV

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Tópicos: Combinação de Incertezas - Grandezas Independentes |

1) Combinação de Incertezas - Grandezas Independentes

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Medições executadas com instrumentos diferentes produzem em geral grandezas independentes, ou seja, a probabilidade de sobreposição de variações numa mesma direção é presumivelmente pequena, e a incerteza resultante é menor, se comparada com a combinação de grandezas dependentes. Considera-se a grandeza g dada pela função abaixo, onde x1, x2, ... são independentes:

$$g = f(x_1, x_2, \cdots) \tag{1A}$$
Então, a incerteza de g é obtida pela fórmula genérica:

$$[u(g)]^2 = \left[{\partial f\over\partial x_1} u(x_1)\right]^2 + \left[{\partial f\over\partial x_2} u(x_2)\right]^2 + \cdots \tag{1B}$$

Nota-se a semelhança com a fórmula para grandezas dependentes. A diferença é o uso da soma dos quadrados no lugar da soma simples. Os itens seguintes dão os resultados dessa fórmula para alguns casos particulares comuns (notação conforme página anterior: u para incerteza absoluta e w para incerteza relativa).

a) Soma e subtração (o quadrado da incerteza combinada é igual à soma dos quadrados das incertezas individuais):

$$[u(x_1 \pm x_2 \pm \cdots)]^2 = [u(x_1)]^2 + [u(x_2)]^2 + \cdots \tag{1C}$$

b) Multiplicação e divisão (o quadrado da incerteza relativa combinada é igual à soma dos quadrados das incertezas relativas individuais):

$$\left[w(x_1^{\pm 1} \times x_2^{\pm 1} \times \cdots)\right]^2 = [w(x_1)]^2 + [w(x_1)]^2 + \cdots \tag{1D}$$

Exemplo 1: um micrômetro foi usado para medir a largura B da seção transversal de uma barra de seção retangular, chegando-se ao resultado (25,000 ± 0,005) mm. A altura H da seção foi medida com um paquímetro, obtendo-se o resultado (100,00 ± 0,04) mm. Determinar a incerteza combinada para a área S da seção transversal da barra.

As grandezas B e H são independentes porque foram obtidas por meio de instrumentos diferentes. Desde que S = B H, usa-se a fórmula (1D):

$$[{u(S)\over S}]^2 = [{u(B)\over B}]^2 + [{u(H)\over H}]^2 = (0,005/25)^2 + (0,04/100)^2 = 2 \times 10^{-7}\\ \therefore {u(S)\over S} = \sqrt{2 \times 10^{-7}}$$

Calculando,

$$S = B H = 25 \times 100 = 2500,0\ \text{mm}^2\\u(S) = 2500,0\ \sqrt{2\times 10^{-7}} \approx 1,1\ \text{mm}^2$$
Exemplo 2: deseja-se determinar a massa específica ρ de um material a partir de uma amostra cilíndrica. A massa M é medida com uma balança, resultando em M ± u(M). O diâmetro e a altura (D e H) são medidos com instrumentos diferentes, resultando em D ± u(D) e H ± u(H) respectivamente. Desenvolver a fórmula para a relação entre a incerteza da massa específica u(ρ) e as incertezas dessas medições.

A função para a massa específica é dedutível:

$$\rho = f(M, D, H) = {4\over\pi}{M\over D^2 H}$$
As grandezas são independentes porque os instrumentos são diferentes e, desde que, além de multiplicação e divisão, há operação de potenciação, as fórmulas anteriores para casos particulares não podem ser usadas. Assim, é aplicada a fórmula básica (1B), que deve ser considerada sempre que a relação matemática não puder ser reduzida a casos simples:

$${\partial\rho\over\partial M} = {4\over\pi}{1\over D^2 H}\\{\partial\rho\over\partial D} = {4\over\pi}{-2 M\over D^3 H}\\{\partial\rho\over\partial H} = {4\over\pi}{-M\over D^2 H^2}$$
Substituindo em (1B) e simplificando,

$$u(\rho)^2 = \left({4\over\pi}\right)^2\left\lbrace \left[{1\over D^2H}u(M)\right]^2 + \left[{-2M\over D^3H}u(D)\right]^2 + \left[{-M\over D^2H^2} u(H)\right]^2\right\rbrace$$

A simplificação pode ser maior se as parcelas são divididas por ρ2 da relação anterior:

$$\left[{u(\rho)\over\rho}\right]^2 = \left[{u(M)\over M}\right]^2+\left[{2u(D)\over D}\right]^2+\left[{u(H)\over H}\right]^2$$

Com essa igualdade, a incerteza da massa específica u(ρ) é obtida a partir dos valores medidos, das respectivas incertezas e do valor calculado de ρ.
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
EA-4/02 Expression of the Uncertainty of Measurement in Calibration. European Co-operation for Accreditation, 1999.

Topo | Rev: Mai/2018