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Medições - Conceitos Básicos III

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Tópicos: Combinação de Incertezas - Introdução | Combinação de Incertezas - Grandezas Dependentes |

1) Combinação de Incertezas - Introdução

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Grandezas físicas podem ser medidas diretamente nos casos em que o instrumento fornece a indicação final. Exemplo: um voltímetro indica a tensão elétrica entre dois pontos. Há também, por razões técnicas ou econômicas, grandezas cujos valores são obtidos indiretamente, através da medição de outras grandezas e das relações matemáticas entre elas.

Como exemplo de medição indireta, pode-se citar a velocidade obtida a partir da relação dos valores medidos de distância e de tempo. Desde que todas as medições têm incertezas, a questão é saber, nesse caso, a incerteza para o valor calculado de velocidade a partir das incertezas obtidas das medições de distância e de tempo.

De forma genérica, pode-se dizer que há uma grandeza g dada por uma função matemática de outras x1, x2, etc. Ou seja,

$$g = f(x_1, x_2, \cdots) \tag{1A}$$
É usual simbolizar a incerteza com a letra u (do inglês uncertainty) seguida do símbolo da grandeza entre parênteses. Assim, o objetivo é a determinação, a partir da função anterior, da incerteza u(g) como uma função fu das incertezas individuais u(x1), u(x2), etc:

$$u(g) = f_u[u(x_1), u(x_2), \cdots] \tag{1B}$$

2) Combinação de Incertezas - Grandezas Dependentes

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Grandezas estatisticamente dependentes são, em geral, aquelas obtidas pelo mesmo instrumento. Exemplo: um paquímetro é usado para medir as arestas de um paralelepípedo e, com os valores, o seu volume é calculado.

O uso do mesmo instrumento aumenta a probabilidade da sobreposição de desvios, de forma que a incerteza combinada de grandezas dependentes é relativamente maior que a de grandezas independentes. Na formulação genérica do tópico anterior, supõe-se que as grandezas x1, x2, etc sejam dependentes:

$$g = f(x_1, x_2, \cdots) \tag{2A}$$
Então, a fórmula genérica para o cálculo é:

$$u(g) = \left\vert{\partial f \over \partial x_1}\right\vert u(x_1) + \left\vert{\partial f \over \partial x_2}\right\vert u(x_2) + \cdots \tag{2B}$$

Consideram-se agora as definições:

• Incerteza absoluta é a incerteza em unidades físicas, u(xi) conforme já visto. Exemplo: se o resultado de uma medição genérica é (20,0 ± 0,2) mm, os valores são x = 20,0 mm e u(x) = 0,2 mm.

• Incerteza relativa é o número adimensional dado pela relação entre a incerteza absoluta e o valor da grandeza:

$$w(x) = {u(x) \over x} \tag{2C}$$
Para o exemplo anterior, ela é dada por w(x) = 0,2 / 20 = 0,01.

• Incerteza percentual é a incerteza relativa, expressa em %, ou seja, em 10−2. Para o exemplo anterior, w(x) = 0,01 / 0,01 = 1%.

Os próximos itens são casos particulares mais comuns para combinação de incertezas de grandezas dependentes segundo relação (2B).

a) Soma e subtração (somam-se incertezas absolutas):

$$u(x_1 \pm x_2 \pm \cdots) = u(x_1) + u(x_2) + \cdots \tag{2D}$$

b) Multiplicação por constante:

$$u(k_1 x_1 \pm k_2 x_2 \pm \cdots) = k_1 u(x_1) + k_2 u(x_2) + \cdots \tag{2E}$$

c) Multiplicação e divisão (somam-se incertezas relativas):

$$w(x_1 \times x_2 \times \cdots) = w(x_1) + w(x_2) + \cdots\\w(x_1\ /\ x_2\ /\ \cdots) = w(x_1) + w(x_2) + \cdots \tag{2F}$$

d) Potenciação

$$w(x^m) = m\ w(x) \tag{2G}$$
Exemplo: o resultado da medição do diâmetro D de um eixo de seção circular foi (20,0 ± 0,2) mm. Deseja-se determinar a área S da seção transversal desse eixo e a respectiva incerteza.

Calculando a área, S = (π / 4) D2 = (π / 4) 202 = 314,2 mm2. De acordo com (2E),

u(S) = u

[

(π / 4)D2

]

= (π / 4) u(D2)


De acordo com (2G),

u(D2)D2 = 2 u(D)D

Assim, u(D2) = 2 u(D) D. Substituindo na anterior,

u(S) = (π / 4) 2 u(D) D = (π/4) × 2 × 0,2 × 20 = 6,3 mm2

Portanto, o resultado da área é dado por: S = (314,2 ± 6,3) mm2

Esse procedimento mostra que, em princípio, é possível juntar igualdades do itens (a) a (d) para obter resultados. Às vezes, o uso de uma variável auxiliar pode ajudar. Seja, por exemplo, $g = {x_1 \over x_2 + x_3}$. Supondo uma variável y tal que $y = x_2 + x_3$, tem-se $g = {x_1 \over y}$. Assim, calculam-se u(y) de acordo com (2D) e u(g) de acordo com (2F). Entretanto, esse procedimento nem sempre é válido. Se, por exemplo, $g = {x_1 + x_2 \over x_1 + x_3}$, deve-se determinar as derivadas parciais segundo (2B).
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
EA-4/02 Expression of the Uncertainty of Measurement in Calibration. European Co-operation for Accreditation, 1999.

Topo | Rev: Mai/2018