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Correias & Polias IV

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Tópicos: Relação entre Tensões | Esforços de Flexão |


1) Relação entre Tensões

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Em página anterior foi vista a relação entre força máxima (Fb), força mínima (Fa), força centrífuga (FC), coeficiente de atrito (μ) e ângulo de contato (φ) para um conjunto correia e polia:

$${F_b - F_C \over F_a - F_C} = \mathrm e^{\mu\varphi} \tag{1A}$$
Pode-se substituir FC por ρ v2, onde ρ é a massa por unidade de comprimento do material da correia e v, a velocidade tangencial. Na realidade, essa relação significa uma situação no limite do deslizamento. Para generalizar, substitui-se o sinal = por ≤ e a equação anterior (com a substituição de FC) torna-se:

$${F_b - F_C \over F_a - F_C} \leq \mathrm e^{\mu\varphi} \tag{1B}$$
Considerando os demais parâmetros fixos, pode-se dizer que, em princípio, a correia deverá operar com valores de forças máxima e mínima (Fb e Fa) que satisfaçam a essa relação.

Relações entre tensões nos lados da correia
Fig 1-I

Teoricamente poder-se-ia ter, por exemplo, Fa = 0. Mas isso provocaria o deslocamento da correia em relação à polia. Na prática, existem faixas de valores recomendados para a relação entre forças máxima e mínima (Fb

/

Fa
), conforme gráfico na parte esquerda da Figura 1-I (os dados se referem a ângulos φ menores que 180° porque são para a polia menor, que é a limitante da situação conforme comentado em página anterior).

Obs: desde que a área da seção transversal de uma correia é constante, o valor (Fb

/

Fa
) é igual à relação entre tensões e assim pode ser denominado.

Na prática, a relação entre esforços tem influência em outros parâmetros, que pode ser vista com o exemplo a seguir. Por simplicidade, considera-se uma transmissão 1:1 e, portanto, com polias iguais e ângulo φ = 180° para ambas.

Exemplos de forças nos lados da correia
Fig 1-II

A figura 1-II mostra 3 casos (a), (b) e (c), para os quais é suposto o mesmo torque a transmitir τ = 1 kN m. A força R (= Fa + Fb) é oposta à resultante de Fa e Fb e deverá ser a força suportada pelo mancal. Os casos (a) e (b) usam polias de mesmo diâmetro e o caso (d), de um diâmetro menor.

Conforme já visto, o torque a transmitir é dado por τ = (Fb − Fa) D2. Desde que o torque é o mesmo para os três casos, uma vez fixado Fa, há um valor de Fb e um de Fb

/

Fa
. E a tabela seguinte dá os resultados para valores arbitrados de Fb.

Situação → (a) (b) (c)
D (m) 0,50 0,50 0,25
Fb (kN) 5 10 10
Fa (kN) 1 6 2
Fb / Fa 5 1,67 5
R (kN) 6 16 12

Comparando (a) com (b), observa-se que, para transmitir o mesmo torque com polias de mesmo diâmetro, uma relação de tensões alta e dentro do recomendado (5) é melhor que uma relação baixa (1,67), resultando em menores esforços na correia e nos mancais. Entretanto há limites: por simplicidade despreza-se a parcela da força centrífuga na igualdade (1B). Então a relação (Fb

/

Fa
) é limitada por eμφ, isto é, pelo coeficiente de atrito e pelo ângulo de contato.

Comparando (a) com (c), nota-se que, para transmitir o mesmo torque com a mesma relação de tensões, a polia maior resulta em menores esforços na correia e nos mancais. Na prática, o tamanho das polias é limitado por fatores como custo, espaço ocupado e outros.


2) Esforços de Flexão

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Até agora tratou-se dos esforços Fb e Fa (máximo e mínimo) atuantes em cada lado da correia (23 e 14 no esquema da parte superior esquerda da Figura 2-I). Nas partes da correia em contato com as polias, há também forças provocadas pela flexão em torno delas. Isso não invalida os cálculos anteriores para torque e potência porque esses esforços só atuam nas áreas em contato com as polias. Assim , o torque transmitido só depende de Fb e Fa. Mas influi na vida útil da correia porque, em determinados intervalos de tempo de cada volta completa, a tração efetiva torna-se maior que Fb. Essas considerações são aplicáveis a correias trapezoidais, que têm espessura significativa em relação à largura. No caso de correias planas, a espessura é em geral pequena em relação à largura e o efeito pode ser normalmente desprezado.

Supõe-se que o material da correia seja perfeitamente elástico. Isso não ocorre na prática, mas a aproximação é considerada suficiente. Segundo a Resistência dos Materiais, a tensão máxima transversal em uma barra, inicialmente retilínea e deformada por flexão, é dada por σ = u E / r. Onde E é o módulo de elasticidade do material, r é o raio de curvatura e u é a maior distância entre a linha que passa pelo centro de gravidade da seção e uma borda na direção do raio r.

Esforços ao longo de uma volta completa da correia
Fig 2-I

Para um determinado tipo de correia (material e geometria da seção transversal), pode-se então dizer que a força devido à flexão é proporcional ao inverso do diâmetro:

$$F_{\text{flex}} = {K_{\text{el}} \over D} \tag{2A}$$
Portanto, Kel é um coeficiente elástico característico da correia, isto é, dependente do seu material e da sua seção transversal.

A Figura 2-I exibe o gráfico dos esforços ao longo de uma volta completa da correia. De 4 a 1, atua a força do lado frouxo Fmin (= Fa das fórmulas anteriores). Entre 1 e 2, a força aumenta gradativamente até Fmax (= Fb das fórmulas anteriores), mas com a adição da força devido à flexão em torno da polia 1 (Kel / D1). Entre 2 e 3 não há mais flexão e, portanto, a força é apenas Fmax. E, entre 3 e 4, ocorre a adição da força devido à flexão na polia 2 com redução até Fmin a partir do ponto 4.

A força útil (a que transmite o troque) é dada por Fmax − Fmin ou Fb − Fa das fórmulas anteriores. Pode-se então definir dois valores de forças equivalentes, correspondentes aos pontos 2 e 3 nas polias 1 e 2 respectivamente, que serão usados na avaliação da vida útil da correia:

$$F_{eq1} = F_{max} + {K_{el}\over D_1}\\F_{eq2} = F_{max} + {K_{el}\over D_2} \tag{2B}$$
Das igualdades (1B) e (1C) do tópico Potência Transmitida, chega-se a Fmax = Pv(1−e−μφ) + ρv2, onde P é a potência transmitida, v a velocidade tangencial, μ coeficiente de atrito, φ ângulo de contato e ρ é a massa por comprimento. Substituindo nas anteriores,

$$F_{eq1} = {P\over v\left(1-e^{-\mu\varphi}\right)} + \rho v^2 + {K_{el}\over D_1}\\F_{eq2} = {P\over v\left(1-e^{-\mu\varphi}\right)} + \rho v^2 + {K_{el}\over D_2} \tag{2C}$$
Referências
Beer, F. P. Johnston, E. R. Vector Mechanics for Engineers. McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Faires, V. M. Elementos Orgânicos de Máquinas. Rio, Livros Técnicos, 1976.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.

Topo | Rev: Ago/2018