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Correias & Polias II

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Tópicos: Potência Transmitida | Potência e Velocidade |


1) Potência Transmitida

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Na igualdade (2E) do tópico Relações Básicas de Atrito, pode-se considerar a parcela de força centrífuga FC:

$${F_b - F_C \over F_a - F_C} = \mathrm e^{\mu\varphi}\\F_C = S m_e r^2 \omega^2 \tag{1A}$$
Somando e subtraindo FC na igualdade da potência (1D) do tópico Relações Básicas, P = (ω D

/

2)

[

(Fb − FC) − (Fa − FC)

]

= (ω D

/

2) (Fb − FC)

[

1 − (Fa − FC)

/

(Fb − FC)

]

. Combinando com (1A),

$$P = {\omega\ D\over 2}(F_b - F_C)(1-\mathrm e^{-\mu\varphi})\\\text{Onde}\quad F_C = S m_e r^2 \omega^2 \tag{1B}$$
Segue resumo dos parâmetros, lembrando que a fórmula é válida para correias de seção retangular (também denominadas correias planas).

ω velocidade angular da polia
D diâmetro da polia
Fb tração no lado mais tenso da correia
μ coeficiente de atrito entre polia e correia
φ ângulo de contato da correia com a polia
S área da seção transversal da correia
me massa específica do material da correia
r raio da polia (= D/2)

A força centrífuga FC de (1A) pode ser escrita como:

$$F_C = \rho v^2\quad\text{onde}\\\rho = S m_e \quad v = \omega r \tag{1C}$$
O parâmetro ρ é denominado densidade linear da correia, equivalente à massa por unidade de comprimento.

Exemplo de cálculo: seja uma transmissão comum de correia plana, com a polia menor na condição motora conforme Figura 1-I. O material da correia tem massa específica 1500 kg/m3 e a seção transversal dela é 500 mm2. Portanto, a densidade linear é ρ = 500 × 10−6 × 1500 = 0,75 kg/m.

Considera-se que a polia tem diâmetro 10 cm e gira com 1800 rpm. Portanto, D = 0,1 m e raio r = D/2 = 0,05 m. Também ω = 1800 × π / 30 ≈ 188,5 rad/s e velocidade tangencial v = ω × r ≈ 188,5 × 0,05 = 9,425 m/s

Polia menor de uma transmissão comum
Fig 1-I

Com esses dados, a força centrífuga pode ser calculada FC = 0,75 × 9,4252 ≈ 66,6 N. Supõe-se que o ângulo de contato seja 165°, isto é, φ = 165 × π / 180 ≈ 2,88 rad e que o coeficiente de atrito entre os materiais da polia e da correia seja μ = 0,35. Considera-se também que a força máxima de tração admissível na correia é Fb = 600 N. É possível então determinar a potência máxima que pode ser transmitida conforme (1B):

P = 188,5 × 0,12 (600 − 66,6)

(

1 − e−0,35 × 2,88

)

= 9,425 × 533,4 × 0,635 ≈ 3,19 kW


Da igualdade (1A), 600 − 66,6Fa − 66,6 = e0,35 × 2,88 ≈ 2,74. Assim, Fa ≈ 194,67 + 66,6 ≈ 261 N

E a força para a tensão inicial da correia pode ser dada pela igualdade (1C) do tópico Relações Básicas: Fa + Fb = 2 F. Assim,

F = Fa + Fb2 = 261 + 6002 = 430,5 N


2) Potência e Velocidade

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Na igualdade (1B) do tópico anterior, a expressão ω D / 2 é a velocidade tangencial v = ω r. E a força centrífuga é dada por FC = ρ v2 conforme visto no mesmo tópico. Pode-se então escrever a relação entre potência transmitida e velocidade tangencial:

$$P = v(F_b - \rho v^2) (1 - \mathrm e^{-\mu\varphi}) \tag{2A}$$
Considerando os demais parâmetros constantes, pode-se traçar um gráfico da potência transmitida em relação à velocidade. A Figura 2-I dá a curva para os valores do exemplo do tópico anterior. Acima de uma determinada velocidade, o efeito da força centrífuga é predominante e a potência transmitida diminui.

Potência transmitida versus velocidade tangencial de uma correia
Fig 2-I

Matematicamente, a velocidade vpmax correspondente à máxima potência transmitida é dada pela derivada nula da potência. Reagrupando a igualdade anterior, P = (v Fb − ρ v3) (1 − e−μφ). Assim,

dPdv = (Fb − 3 ρ v2) (1 − e−μφ) = 0

Desde que (1 − e−μφ) não é nulo, deve-se ter (Fb − 3 ρ v2) = 0. Portanto,

$$v_{pmax} = \sqrt{F_b\over 3\rho} \tag{2B}$$
Dessa igualdade, Fb = 3 ρ vpmax2. Substituindo em (1A), o resultado é a fórmula da potência máxima:

$$P_{max} = 2 \rho v_{pmax}^3(1 - \mathrm e^{-\mu\varphi}) \tag{2C}$$
Exemplo de cálculo: para o exemplo do tópico anterior, tem-se:

vpmax =

√ [

600

/

(3 × 0,75)

]

≈ 16,3 m/s


Pmax = 2 × 0,75 × 16,33 × 0,635 ≈ 4,1 kW
Referências
Beer, F. P. Johnston, E. R. Vector Mechanics for Engineers. McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Faires, V. M. Elementos Orgânicos de Máquinas. Rio, Livros Técnicos, 1976.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.

Topo | Rev: Ago/2018