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Correias & Polias I

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Tópicos: Relações Básicas | Relações Básicas de Atrito |


1) Relações Básicas

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A Figura 1-I dá o arranjo típico de um acionamento por correia. A polia 1 tem diâmetro D1 e gira com velocidade angular ω1. A polia 2 tem diâmetro D2 e gira com velocidade angular ω2. Desde que a correia é supostamente inextensível, a velocidade tangencial v é a mesma em qualquer ponto. Da relação entre velocidade tangencial e angular (v = ωR) do movimento circular, v = ω1 D1/2 = ω2 D2/2. Simplificando, obtém-se a relação básica de velocidades angulares:

$${\omega_1 \over \omega_2} = {D_2 \over D_1} \tag{1A}$$
Na prática e também em algumas referências, é usual especificar a velocidade angular na unidade rotação por minuto (rpm), simbolizada com n. Assim,

$${n_1 \over n_2} = {D_2 \over D_1} \tag{1B}$$
Desde que o movimento se transmite pela ação de forças de atrito, a correia deve estar previamente tracionada. Na prática isso é feito com auxílio de parafusos, molas, contrapesos ou outros meios. Na situação estática, ocorre então a mesma força de tração em ambos os lados Fa = Fb = F.

Arranjo típico de um acionamento por correia
Fig 1-I

Supõe-se agora que o conjunto está em movimento e que a polia 2 é a motora e a polia 1 é a acionada. Se uma potência é transmitida, a polia 1 oferece resistência ao giro e, no sentido de rotação da figura, a força de tração inferior Fb aumenta e superior Fa diminui. Mas, de qualquer forma e considerando que a parte superior se mantém tracionada, a soma permanece constante, ou seja,

$$F_a + F_b = 2F = \text{constante} \tag{1C}$$
Das relações da Dinâmica, a potência transmitida em um movimento circular é o produto do torque pela velocidade angular: P = τ ω. Considerando uma polia genérica, o torque é τ = (Fb − Fa) D / 2. Combinando as igualdades, obtém-se a potência transmitida:

$$P = {\omega\ D\over 2}(F_b - F_a) \tag{1D}$$
O comprimento da correia do arranjo da Figura 1-I pode ser calculado por uma fórmula aproximada (a dedução é simples e aqui não é dada):

$$L = 2C + 1,57(D_2 + D_1) + {(D_2 - D_1)^2\over 4C} \tag{1E}$$


2) Relações Básicas de Atrito

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Na Figura 2-I, é representada uma porção infinitesimal, limitada pelo ângulo dφ na polia, de uma correia, supostamente de seção retangular de espessura pequena em relação às demais dimensões. As forças atuantes nessa porção de correia são:

• F e F + dF (tração da correia)
• FN (força normal exercida devido ao contato com a polia)
• FC (força centrífuga devido à rotação)

Calcula-se agora a resultante das forças no sentido tangencial (horizontal na figura): Rx = (F + dF)x − Fx. Consideram-se as relações trigonométricas: (F + dF)x = (F + dF) cos (dφ/2) e também Fx = F cos(dφ/2). Sendo dφ um ângulo infinitesimal, o cosseno de (dφ/2) é aproximado para a unidade. Com isso, chega-se a:

$$R_x = dF \tag{2A}$$
Porção infinitesimal de um acionamento por correia
Fig 2-I

No sentido radial (vertical na figura), a resultante deve ser nula porque não há movimento nessa direção. Portanto Ry = FN + FC − Fy − (F + dF)y = 0. Da trigonometria, Fy = F sin (dφ/2) e também (F + dF)y = (F + dF) sin (dφ/2). Desde que φ é pequeno, pode-se supor sin (dφ/2) = dφ/2. Portanto,

Fy = F dφ/2
(F + dF)y = (F + dF) (dφ/2) = F dφ/2 + dF dφ/2 = F dφ/2 (porque o produto das duas infinitesimais é desprezado)

Substituindo na anterior, FN + FC − F dφ = 0 ou:

$$F_N = F d\varphi - F_C \tag{2B}$$
Calcula-se agora o valor de FC (é usado o conceito de força centrífuga porque a referência é a polia). Nas relações da dinâmica, pode ser visto que a intensidade é a mesma da força centrípeta de uma massa m em movimento circular uniforme de raio r e velocidade angular ω: FC = m ω2 r. Considerando S a área da seção transversal da correis e me a massa específica do material, vale para a porção infinitesimal conforme Figura 2-I: m = me S r dφ. Portanto,

$$F_C = S m_e r^2\omega^2 d\varphi \tag{2C}$$
De acordo com os conceitos de forças de atrito, a força tangencial Rx deve ser igual ao produto da força normal FN pelo coeficiente de atrito entre a correia e a polia (μ): Rx = μ FN. Combinando essa igualdade com as anteriores,

$$R_x = dF = \mu F_N = \mu F d\varphi - \mu S m_e r^2 \omega^2 d\varphi \tag{2D}$$

Forças longitudinais na porção de correia que envolve a polia
Fig 2-II

Portanto, dFF − S me r2 ω2 = μ dφ. Essa equação diferencial pode ser resolvida para um intervalo genérico φ conforme Figura 2-II. O resultado é:

$${F_b - S m_e r^2 \omega^2 \over F_a - S m_e r^2 \omega^2} = \mathrm e^{\mu\varphi} \tag{2E}$$
Portanto, essa equação representa, considerando os demais parâmetros constantes, a relação máxima entre as forças Fb e Fa que a correia pode operar sem deslizamento. Nota-se que, numa transmissão comum de correia e duas polias com o mesmo coeficiente de atrito, o deslizamento (se ocorrer) começa sempre pela polia menor porque o ângulo φ é menor, o pode ser observado na prática.

Exemplo de forças em uma amarra para barcos ou similar
Fig 2-II

Se é desprezada a força centrífuga ou a situação é estática (ω = 0), a equação anterior fica simplificada:

$${F_b \over F_a} = \mathrm e^{\mu\varphi} \tag{2F}$$
E a fórmula também pode ser aplicada a cordas ou cabos em torno de cilindros ou tambores. Desde que a relação entre forças aumenta exponencialmente com o ângulo, no caso de várias voltas conforme esquema da Figura 2-III, a diferença entre elas é grande, o que pode ser na prática observado em amarras de barcos e em situações similares.
Referências
Beer, F. P. Johnston, E. R. Vector Mechanics for Engineers. McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Faires, V. M. Elementos Orgânicos de Máquinas. Rio, Livros Técnicos, 1976.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.

Topo | Rev: Ago/2018