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Eletrônica Digital IX

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Tópicos: OU EXCLUSIVO (XOR) de Duas Entradas | OU EXCLUSIVO de Três Entradas | Bloco NÃO OU EXCLUSIVO (XNOR) |


1) OU EXCLUSIVO (XOR) de Duas Entradas

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Em página anterior, foi dada a definição: função lógica tal que, no caso de duas entradas, o valor da saída é 1 se as entradas são diferentes e 0 se as entradas são iguais.

A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

A tabela de verdade pode ser vista acima e a função lógica é simbolizada por:

$$S = A \oplus B \tag{1A}$$
Muitas vezes ela é considerada elementar, mas, na verdade, é implementada com uso dos três blocos realmente elementares. Usando o procedimento dado em Eletrônica Digital VII, pode-se montar a expressão lógica e o circuito a partir da tabela anterior:

$$S = \overline A B + A\overline B \tag{1B}$$
A Figura 1-I (a) mostra o circuito correspondente a essa expressão. Portanto,

$$A \oplus B = \overline A B + A\overline B \tag{1C}$$
O símbolo do bloco, também já visto em páginas anteriores, é dado em (c) da mesma figura.


Fig 1-I

Considerando variáveis genéricas X, Y e Z, as propriedades da álgebra de Boole permitem escrever:

XX = 0
X + 0 = X
X (Y + Z) = XY + XZ

Portanto, na igualdade (1C), pode-se somar AA e BB no lado direito:

A ⊕ B = AB + AB + AA + BB = A (A + B) + B (A + B) = (A + B) (A + B)

Outra propriedade (teorema de Morgan) diz que XY = X + Y. Assim, a expressão anterior fica:

$$A \oplus B = (A + B) (\overline{A B}) \tag{1D}$$
E o circuito para essa igualdade é exibido em (b) da Figura 1-I.


2) OU EXCLUSIVO de Três Entradas

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A tabela de verdade pode ser elaborada com uso da propriedade associativa da álgebra de Boole, que também vale para a função:

S = A ⊕ B ⊕ C = (A ⊕ B) ⊕ C

Com os valores de A ⊕ B da tabela do tópico anterior, monta-se a tabela de verdade. Exemplo:

0 ⊕ 0 = 0
0 ⊕ 1 = 1

Isso é o resultado da linha A=0, B=0, C=1.

A B C S
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1

Os resultados mostram que a definição anterior para duas entradas não pode ser mais válida porque a saída da última linha (111) é 1, embora as entradas sejam iguais. Uma definição mais genérica de OU exclusivo é dada por: bloco lógico tal que a saída é 1 se o número de entradas 1 é ímpar e 0 nos demais casos. Essa definição se aplica a qualquer número de entradas.


Fig 2-I

A expressão lógica pode ser deduzida da tabela de verdade conforme método dado em Eletrônica Digital VII:

$$S = ABC + \overline A\overline BC + \overline AB\overline C + A\overline B\overline C \tag{2A}$$
O circuito correspondente e símbolo são dados na Figura 2-I (usando procedimento idêntico, pode-se ampliar o bloco para qualquer número de entradas).


Fig 2-II

Verifica-se agora se é possível simplificar o circuito. A Figura 2-II dá o diagrama de Veitch-Karnaugh para as três variáveis, conforme visto em Eletrônica Digital VIII. Não é possível formar pares nem quadras e, assim, conclui-se que o circuito não admite simplificação. A mesma situação deverá ocorrer para um número maior de entradas.


3) Bloco NÃO OU EXCLUSIVO (XNOR)

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É o inverso do OU EXCLUSIVO e, portanto, a definição genérica é: bloco lógico tal que a saída é 1 se o número de entradas 1 é par e 0 nos demais casos. A seguir tabela de verdade para três entradas.

A B C S
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0

A expressão lógica da saída é:

$$S = \overline{A \oplus B \oplus C} \tag{3A}$$

Fig 3-I

O circuito interno é o mesmo anterior com o acréscimo de um bloco NÃO na saída. Desde que é o inverso do OU EXCLUSIVO, também não deve haver simplificação conforme tópico anterior. O símbolo usual é mostrado na Figura 3-I.
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. USA: McGraw-Hill, 1977.
U. S. Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Dez/2007