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Eletrônica Digital IV - Álgebra de Boole

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Tópicos: Variáveis e Operadores Básicos | Algumas Propriedades e Teoremas | Função Booleana e Tabela de Verdade |

A álgebra de Boole é um conjunto de postulados e operações lógicas com variáveis binárias desenvolvido pelo matemático e filósofo inglês George Boole (1815-1864). As operações básicas dos circuitos digitais são fundamentadas nos seus conceitos, que inclusive guardam alguma (mas não total) semelhança com a álgebra comum dos números reais. Esta página apresenta algumas informações de forma resumida, sem entrar em detalhes como demonstrações de teoremas e identidades. Alguns outros conceitos e procedimentos relativos à álgebra de Boole são vistos ao longo das páginas sobre circuitos lógicos.


1) Variáveis e Operadores Básicos

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Uma variável booleana representa um dígito binário, ou seja, só pode ter os valores 0 ou 1. No conceito matemático, o domínio dessa variável pode ser definido como o conjunto $B = \lbrace0, 1\rbrace$. Portanto, se X é uma variável booleana, $X \in B$.

São comuns, para os valores 0 e 1, as designações falso e verdadeiro, respectivamente. Uma variável booleana pode ter mais de um dígito binário. Nesse caso, seu domínio pode ser dado por todas as combinações possíveis de valores 0 e 1 dos dígitos. Exemplo: uma variável de 8 bits (algumas vezes denominada palavra de 8 bits) permite 28 = 256 combinações.

As operações fundamentais da álgebra de Boole têm semelhança com operações aritméticas comuns, inclusive alguns símbolos são idênticos, mas não são necessariamente coincidentes. Mais detalhes dessas operações podem ser vistos na próxima página.

Operação OU

É similar à adição comum, mas a correspondência não é plena. Símbolo usual é o mesmo da adição. Exemplo (lê-se X igual a A ou B):

$$X = A + B \tag{1A}$$
Outro símbolo, comum em linguagem de programação, é a barra vertical:

$$X = A\ |\ B\ \tag{1B}$$
Descrição: X = 0 se A = B = 0 e X = 1 nos demais casos.

Operação E

É similar à multiplicação comum e há correspondência, como poderá ser visto adiante. Símbolo usual é o mesmo da multiplicação. Exemplo (lê-se X igual a A e B):

$$X = A \cdot B \tag{1C}$$
Muitas vezes, também de forma semelhante à álgebra comum, o sinal de ponto é suprimido:

$$X = A \ B \tag{1D}$$
O caractere "E comercial" (&) é usado em algumas linguagens:

$$X = A\ \&\ B \tag{1E}$$
Descrição: X = 1 se A = B = 1 e X = 0 nos demais casos.

Operação NÃO

Também denominada negação ou complemento, pode ser considerada similar ao negativo da álgebra comum. Entretanto, não há correspondência plena porque a álgebra de Boole não usa sinal negativo. Símbolo usual é uma barra acima (ou antes) da variável. Exemplo (lê-se X igual a não A):

$$X = \overline A \tag{1F}$$
Alguns outros símbolos são sinal de exclamação e apóstrofo:

$$X =\ !A = A' \tag{1G}$$
Descrição: X = 0 se A = 1 e X = 1 se A = 0.


2) Algumas Propriedades e Teoremas

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Propriedade comutativa

$$A + B = B + A\\A \cdot B = B \cdot A \tag{2A}$$
Propriedade associativa

$$A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C\\A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C = A \cdot B \cdot C \tag{2B}$$

Propriedade distributiva

$$A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C \tag{2C}$$
Teoremas de Morgan

$$\overline{A + B} = \overline A \cdot \overline B\\\overline{A \cdot B} = \overline A + \overline B \tag{2D}$$
Outras igualdades

$$A + A \cdot B = A\\A + \overline A \cdot B = A + B\\(A + B) \cdot (A + C) = A + B \cdot C \tag{2E}$$

3) Função Booleana e Tabela de Verdade

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Uma função matemática genérica de um conjunto X para um conjunto Y, f:X → Y, pode ser entendida como uma regra que define um elemento único y ∈ Y para cada elemento x ∈ X. A notação prática mais comum é y = f(x). Pode-se também dizer que a função faz um mapeamento de x para y. O conjunto X é denominado domínio da função e o conjunto Y é o seu codomínio.

Seja agora o conjunto das variáveis booleanas B = {0, 1}. Se existem n variáveis, o conjunto de todas as combinações possíveis é simbolizado por Bn (produto cartesiano).


Tab 3-I

Uma função booleana é o conjunto de todas as funções que fazem o mapeamento de m variáveis de entrada para n variáveis de saída, f: Bm → Bn. Na prática, pode-se dizer que é uma função que estabelece uma relação entre um conjunto de m variáveis de entrada com um conjunto de n variáveis de saída.

Desde que os valores das variáveis são discretos (apenas 0 e 1), o mapeamento da função pode ser apresentado em forma tabular, denominada tabela de verdade da função. O quadro Tabela 3-I dá um exemplo para três entradas e duas saídas.
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. USA: McGraw-Hill, 1977.
U. S. Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Dez/2007