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Eletrônica Digital I

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Tópicos: Introdução aos Números |


1) Introdução aos Números

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Número é um conceito matemático abstrato, mas intuitivo. Pode-se definir como a representação de uma coleção de objetos iguais ou quantidades. São indicados por símbolos denominados algarismos ou dígitos e as palavras que os expressam são ditas numerais. Seja, por exemplo, uma espécie de objeto representada pela letra grega alfa (α). A coleção ααα é simbolizada por , a coleção ααααα é indicada por e assim sucessivamente. Na tabela 1-I, a coluna (a) contém coleções sucessivas do objeto mencionado e a coluna (b) dá a representação numérica usual.

Um fato notável ocorre a partir da quantidade 10: em vez de criado um novo algarismo, foram usados dois já existentes. Esse artifício, que forma um sistema de numeração, é fundamental, uma vez que os tamanhos das coleções são ilimitados e, portanto, seria inviável a definição de infinitos símbolos diferentes.

A base de um sistema de numeração corresponde à quantidade de algarismos diferentes que são usados. O sistema padrão de uso cotidiano é denominado decimal porque são usados dez algarismos diferentes (01234567989).

Tabela 1-I
(a)
coleção
(b)
decimal
(c)
octal
(d) hexa-
decimal
(e)
binário
  0 0 0 0
α 1 1 1 1
αα 2 2 2 10
ααα 3 3 3 11
αααα 4 4 4 100
ααααα 5 5 5 101
αααααα 6 6 6 110
ααααααα 7 7 7 111
αααααααα 8 10 8 1000
ααααααααα 9 11 9 1001
αααααααααα 10 12 A 1010
ααααααααααα 11 13 B 1011
αααααααααααα 12 14 C 1100
ααααααααααααα 13 15 D 1101
αααααααααααααα 14 16 E 1110
ααααααααααααααα 15 17 F 1111
αααααααααααααααα 16 20 10 10000
ααααααααααααααααα 17 21 11 10001
αααααααααααααααααα 18 22 12 10010

Sistemas de numeração podem ser definidos com qualquer base, desde que maior que a unidade. Na coluna (c) da tabela, são usados os mesmos algarismos do sistema decimal, mas apenas até o 7. Isso forma o sistema de base oito ou octal de numeração. Portanto, 10 nessa base corresponde ao 8 decimal, 11 ao 9, etc.

A coluna (d) da tabela mostra o sistema hexadecimal. Ele usa todos os algarismos do sistema decimal mais a seis primeiras letras do alfabeto para formar a base de tamanho 16.

A menor base possível é constituída por dois dígitos diferentes, quase sempre representada pelos dois primeiros algarismos do sistema decimal (0 e 1). É o sistema binário de numeração, conforme exemplo da coluna (d) da tabela.

Formação do número: pode-se concluir que a lei de formação de um número inteiro N corresponde à identidade aritmética seguinte (ai são os algarismos e b é a base).

$$N = \cdots + a_2 b^2 + a_1 b^1 + a_0 b^0 \tag{1A}$$
Exemplo: o número decimal 354 corresponde a 3 × 102 + 5 × 101 + 4 × 100. Por essa formação, no caso de números decimais, costuma-se dizer que, da direita para a esquerda, o primeiro algarismo indica unidade (100 = 1), o segundo indica dezena (101 = 10), o terceiro indica centena (102 = 100), etc.

Identificação da base: de acordo com a convenção clássica, um número N em uma base b é representado na forma:

$$N_b \tag{1B}$$
Exemplo: conforme a décima primeira linha da tabela acima, ocorrem as equivalências nas diferentes bases:

1010 = 128 = A16 = 10102

Na prática, os números decimais são escritos sem o índice porque formam a base usual. Em Eletrônica Digital e em Informática são comuns notações para evitar caracteres subscritos de índices. Exemplo: em linguagem C, base octal é identificada pelo prefixo 0 (035, 021, etc) e base hexadecimal pelo prefixo 0x (0x11, 0xCC, etc). Números binários são normalmente escritos sem o índice 2 da base porque a própria sequência de dígitos 0 e 1 é, em geral, suficiente para identificá-los.

Circuitos digitais operam com fundamentos no sistema binário de numeração. Os sistemas octal e hexadecimal são usados para representar números binários de forma compacta. As suas bases são potências inteiras de 2 (8 = 23 e 16 = 24), possibilitando, ao contrário da base 10, conversões rápidas e fáceis.

Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. USA: McGraw-Hill, 1977.
U. S. Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Dez/2007