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Transformação de Lorentz

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Tópicos: Relações Básicas | Aplicação a Velocidades | Variações de Distância e Tempo |


1) Relações Básicas

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No arranjo da Figura 1-I, são consideradas as hipóteses seguintes.

a) O e O' são dois observadores situados nas origens de seus sistemas de coordenadas, com eixos X e X' coincidentes. Observador O está fixo e O' se move no eixo X com velocidade v em relação a O.

b) No instante em que O' passa por O (estão no mesmo ponto), é iniciada uma contagem de tempo para ambos, ou seja, t = t' = 0.

c) Considerando c a velocidade da luz, nesse instante inicial é emitido um feixe de luz partindo dessa posição comum. Seja t o tempo em que o observador O mede para a luz atingir um ponto genérico P. Então o módulo do vetor r é dado por r = c t. Em termos de componentes, r2 = x2 + y2 + z2. Combinando as igualdades,

$$c^2 t^2 = x^2 + y^2 + z^2 \tag{1A}$$
d) De forma análoga, o observador O' mede um tempo t', mas a velocidade da luz em relação a esse observador não muda (é igual ao mesmo c anterior). Assim, r' = c t' e uma igualdade similar pode ser deduzida:

$$c^2 t'^2 = x'^2 + y'^2 + z'^2 \tag{1B}$$
Transformação de Lorentz
Fig 1-I

O ponto P, para o observador O, tem coordenadas P(x, y, z, t) e, para O', P(x', y', z', t'). Desde que o eixo X é comum,

$$y' = y\\z' = z \tag{1C}$$
Quando x'= 0 (ponto O'), tem-se x = v t. Assim, para x', pode-se supor uma relação com uma constante γ a determinar:

$$x' = \gamma (x - vt) \tag{1D}$$
Para o tempo, pode-se supor algo similar, com duas constantes α e β:

$$t' = \alpha (t - \beta x) \tag{1E}$$
Substituindo (1D) e (1E) em (1B) e reagrupando,

$$(\alpha^2 - \gamma^2 v^2/c^2) c^2 t^2 = (\gamma^2 - \beta^2 \alpha^2 c^2)x^2 - 2(\gamma^2 v -\beta \alpha^2 c^2)x t + y^2 + z^2 \tag{1F}$$
Substituindo c2 t2 do lado esquerdo pelo valor dado por (1A), chega-se às igualdades:

$$\alpha^2 - \gamma^2 v^2/c^2 = 1 \\ \gamma^2 - \beta^2 \alpha^2 c^2 = 1 \\ \gamma^2 v -\beta \alpha^2 c^2 = 0 \tag{1G}$$
Resolvendo esse sistema de equações,

$$\gamma = \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}}\\ \beta = \frac{v}{c^2} \tag{1H}$$
Considerando (1C), (1D) e (1E) e fazendo substituições:

$$x' = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} \\ y' = y \\ z' = z \\ t' = \frac{t - vx/c^2}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} \tag{1I}$$
Essas relações formam a transformação de Lorentz para as hipóteses adotadas, ou seja, as coordenadas (x', y', z', t'), medidas por O', em função das coordenadas (x, y, z, t), medidas por O.

A operação inversa, coordenadas (x, y, z, t), medidas por O, em função das coordenadas (x', y', z', t'), medidas por O', é possível com uso de desenvolvimento similar. O resultado é:

$$x = \frac{x' + vt'}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} \\ y = y' \\ z = z' \\ t = \frac{t' + vx'/c^2}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} \tag{1J}$$
Transformação de Lorentz - Variação com velocidade
Fig 1-II

Do gráfico da Figura 1-II e de (1I), pode-se notar que, se $v << c$, tem-se $x' \approx x - vt$ e $t' \approx t$, ou seja, as relações de espaço e tempo são aquelas da mecânica clássica.


2) Aplicação a Velocidades

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Sejam V e V'as velocidades do ponto P da Figura 1-I medidas por O e O'. São usadas as relações:

$$V_x = dx/dt\\V_y = dy/dt\\V_z = dz/dt\\V'_x = dx'/dt'\\V'_y = dy'/dt'\\V'_z = dz'/dt' \tag{2A}$$
As hipóteses mencionadas permitem concluir que as velocidades nas direções Y e Z são nulas. Omitindo a demonstração, a derivação com substituição dos valores das igualdades do tópico anterior produz o resultado:

$$V' = \frac{V - v}{1 -v V/c^2} \tag{2B}$$

3) Variações de Distância e Tempo

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Na Figura 1-I, sejam dois pontos 1 e 2 no eixo X'. Assim, esses pontos estão em repouso para O' e em movimento para O. Aplicando a primeira relação de (1I) a cada ponto,

$$x_1' = \frac{x_1 - vt}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}}\\x_2' = \frac{x_2 - vt}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} \tag{3A}$$
Sejam as distâncias entre esses pontos:

$$\ell' = x_2' - x_1'\\\ell =x_2 - x_1 \tag{3B}$$
Combinando com (3A) e simplificando,

$$\ell= \ell' \sqrt{1 - v^2/c^2} \tag{3C}$$
Desde que o termo da raiz quadrada é menor que a unidade, conclui-se que a distância entre os pontos em movimento é menor que a vista pelo observador em repouso com relação a esses pontos.

Seja agora um evento de tempo (de 1 a 2), no mesmo local x' relativo ao observador O'. Para determinar a relação de tempo com O, aplica-se a quarta relação de (1J) porque x' não varia:

$$t_1 = \frac{t_1' + vx'/c^2}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}}\\t_2 = \frac{t_2' + vx'/c^2}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} \tag{3D}$$
Considerando os intervalos de forma similar à do comprimento, chega-se a:

$$\Delta t = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} \tag{3E}$$
Ou seja, um mesmo evento dura um tempo maior quando em um corpo em movimento relativo ao observador que quando em um corpo em repouso com relação a esse observador.
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Abr/2018