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Linhas de Transmissão de Sinais - II

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Tópicos: Linha em Curto-circuito | Propagação |


1) Linha em Curto-circuito

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No esquema da Figura 1-I, R = 0. Portanto, Vb = 0. De (2H) da página anterior,

$$V_b = a \text e^{-gx} + b \text e^{gx} = 0 \\ I_b = \frac{a}{Z_{cr}} \text e^{- g x} - \frac{b}{Z_{cr}} \text e^{g x} \tag{1A}$$
Com essas duas igualdades, pode-se relacionar os coeficientes:

$$a = I_b Z_{cr} \text e^{gm} \big/ 2 \\ b = - I_b Z_{cr} \text e^{gm} \big/ 2 \tag{1B}$$
Linha em Curto-circuito
Fig 1-I

Substituindo em (2H) da página anterior,

$$v = \frac{I_b Z_{cr}}{2} \left(\text e^{-g(x-m)} - \text e^{g(x-m)} \right) \\ i = \frac{I_b}{2} \left(\text e^{-g(x-m)} + \text e^{g(x-m)} \right) \tag{1C}$$
Comparando com (3C) da página anterior, pode-se notar que as últimas parcelas das igualdades representam um segundo sinal na linha, ou seja, um sinal refletido.

Determinando agora os valores na entrada (x = 0) e considerando g dado por (2C) do próximo tópico,

$$V_a = \frac{I_b Z_{cr}}{2} \left(\text e^{j \beta m} - \text e^{-j \beta m} \right) \\ I_a = \frac{I_b}{2} \left(\text e^{j \beta m} + \text e^{-j \beta m} \right) \tag{1D}$$
Calculando a impedância na entrada,

$$Z = \frac{V_a}{I_a} = Z_{cr} \frac{\text e^{j \beta m} - \text e^{-j \beta m}}{\text e^{j \beta m} + \text e^{-j \beta m}} \tag{1E}$$
Aplicando a equivalência trigonométrica para números complexos, atribuindo o valor de β conforme (2I) e simplificando, obtém-se o resultado;

$$Z = j\ Z_{cr} \tan \frac{2 \pi m}{\lambda} \tag{1F}$$
Conclui-se que, se o comprimento da linha é m = λ / 4, ou seja, um quarto do comprimento de onda do sinal, a impedância na entrada é infinita, atuando a linha em curto-circuito como um circuito ressonante paralelo.


2) Propagação

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Na página anterior, foram dados os parâmetros:

• zL impedância por unidade de comprimento devido à indutância da linha (Ω/m).
• zC impedância de uma unidade de comprimento devido à capacitância da linha (Ω m).

Na mesma página, combinando (2I) com(2J), obtém-se o fator de propagação g em função de z_L e da impedância característica Zcr:

$$g = \frac{z_L}{Z_{cr}} \tag{2A}$$
Desde que zL é a impedância de uma unidade de comprimento, a impedância indutiva do trecho Δx de linha estudado é ZL = Δx zL. Do tópico Impedância da mesma página, ZL = j ω L. Portanto, zL = ZL / Δx = j ω L / Δx. Substituindo na igualdade anterior,

$$g = \frac{j \omega L}{\Delta x Z_{cr}} \tag{2B}$$
Da mesma página a impedância característica é Zcr = (zL zC)1/2. Desconsiderando resistências da linha, Zcr é um número real e a constante g segundo (2B) pode ser escrita como:

$$g = j \beta \quad \text{onde}\\\beta = \frac{\omega L}{\Delta x Z_{cr}} \tag{2C}$$
O propósito é a determinação do valor de β. Nessa página, tópico Linha Carregada com sua Impedância Característica, substitui-se esse valor de g na primeira relação de (3C):

$$v = V_a \text e^{-j \beta x} \tag{2D}$$
Considerando sinal senoidal, tem-se Va = V ej ω t. Substituindo,

$$v = V \text e^{j \omega t} \text e^{-j \beta x} \tag{2E}$$
Propagação
Fig 2-I

Usando a notação trigonométrica para os números complexos, (2E) pode ser escrita:

$$v = V(\cos \omega t + j \sin \omega t)(\cos \beta x - j \sin \beta x) \tag{2F}$$
Essa relação pode ser simplificada com uso de igualdades trigonométricas, chegando-se a:

$$v = V [\cos (\omega t + \beta x) + j \sin (\omega t + \beta x) ] \tag{2G}$$
Essa igualdade é a representação complexa de um sinal senoidal, indicando a equação da propagação do sinal ao longo da linha. Na representação trigonométrica,

$$v = V \sin(\omega t + \beta x) \tag{2H}$$
Conforme Figura 2-I, após um tempo igual ao período T do sinal, deve haver um deslocamento igual ao seu comprimento de onda λ. Portanto, deve-se ter:

$$\beta = \frac{2 \pi}{\lambda} \tag{2I}$$
Referências
BROPHY, James J. Basic Electronics for Scientists. USA: McGraw-Hill, 1977.
U. S. NAVY. Basic Electronics. Hemus, 1976.

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