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Linhas de Transmissão de Sinais - I

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Tópicos: Impedância - Relações Básicas | Modelo / Impedância Característica | Linha Carregada com sua Impedância Característica |


1) Impedância - Relações Básicas

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Indutor de indutância L:

$$Z_L = j \omega L \tag{1A}$$
Capacitor de capacitância C:

$$Z_C = - \frac{j}{\omega C}\tag{1B}$$
Resistor de resistência R:

$$Z_R = R \tag{1C}$$
Onde j é a unidade imaginária (√−1), ω é a velocidade angular ( = 2 π f, onde f é a frequência da corrente no elemento).

Associação de impedâncias em série:

$$Z = Z_1 + Z_2 + \ldots \tag{1D}$$
Associação de impedâncias em paralelo:

$$\frac{1}{Z} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2} + \ldots \tag{1E}$$

2) Modelo / Impedância Característica

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Na Figura 2-I, modelo teórico de um pequeno comprimento de linha Δx: entre os dois condutores há um conjunto RC paralelo. Ao longo de um condutor, há um conjunto RL em série, subdividido em dois para manter a simetria, conforme sugere a situação real.

Supõe-se que cada unidade de comprimento tem uma impedância em série zL (impedância / comprimento) e uma impedância paralela zC (impedância × comprimento). Nelas estão inclusas as resistências e os símbolos foram assim escritos porque o efeito das indutâncias e capacitâncias são predominantes e, em muitos casos, as resistências podem ser desprezadas. Portanto, para um comprimento pequeno Δx,

Impedância em paralelo:

$$Z_C = z_C \big/ \Delta x \tag{2A}$$
Impedância em série:

$$Z_L = \Delta x\ z_L \tag{2B}$$
Nas extremidades tem-se as tensões (v) e (v + Δv) e as correntes (i) e (i + Δi).

Modelo de uma Linha de Transmissão
Fig 2-I

Aplicando a lei de Kirchhoff (soma das tensões igual a zero), para o laço formado por ambas as extremidades do modelo e simplificando,

$$v - i \Delta x\ z_L / 2 - (i + \Delta i) \Delta x\ z_L / 2 - v - \Delta v = 0\\ \Delta v / \Delta x = - z_L i - \Delta i\ z_L / 2 \tag{2C}$$
Na situação limite, a segunda parcela se anula e derivadas podem ser obtidas:

$$\frac{dv}{dx} = - z_L\ i \\ \frac{d^2v}{dx^2} = - z_L \frac{di}{dx} \tag{2D}$$
Desenvolvendo de maneira análoga para o laço formado pela extremidade esquerda e o conjunto RC central,

$$v - i \Delta x\ z_L / 2 - [i - (i + \Delta i)] z_C / \Delta x = 0 \\ v - i z_L \Delta x - \Delta i\ z_C / \Delta x = 0 \tag{2E}$$
Na situação limite, a primeira parcela se anula e derivadas são calculadas:

$$\frac{di}{dx} = - \frac{v}{z_C} \\ \frac{d^2i}{dx^2} = - \frac{1}{z_C} \frac{dv}{dx} \tag{2F}$$
Nas derivadas de segunda ordem de (2D) e (2F), substituindo as derivadas do lado direito pelas igualdades da outra,

$$\frac{d^2v}{dx^2} = \frac{z_L}{z_C} v \\ \frac{d^2i}{dx^2} = \frac{z_L}{z_C} i \tag{2G}$$
Essas relações formam as equações da linha de transmissão para o modelo considerado. Omitindo o desenvolvimento, as soluções genéricas são:

$$v = a\ \text e^{- g x} + b\ \text e^{g x} \\ i = \frac{a}{Z_{cr}} \text e^{- g x} - \frac{b}{Z_{cr}} \text e^{g x} \tag{2H}$$
Nessas relações, a e b são constantes a determinar. A constante g é denominada coeficiente de propagação, dada por:

$$g = \sqrt{\frac{z_L}{z_C}} \tag{2I}$$
A constante Zcr é denominada impedância característica, dada por:

$$Z_{cr} = \sqrt{\large{z}_L\ \large{z}_C} \tag{2J}$$

3) Linha Carregada com sua Impedância Característica

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No diagrama da Figura 3-I, uma linha de comprimento m e impedância característica Zcr é terminada com uma carga do mesmo valor. Então, Vb = Ib Zcr. Se feito x = m nas equações de (2H) os valores v e i dessas igualdades são respectivamente Vb e Ib. Portanto,

$$a\ \text e^{- g m} + b\ \text e^{g m} = Z_{cr}\left( \frac{a}{Z_{cr}} \text e^{- g m} - \frac{b}{Z_{cr}} \text e^{g m} \right) \tag{3A}$$
Linha carregada
Fig 3-I

Simplificando,

$$a\ \text e^{- g m} + b\ \text e^{g m} = a\ \text e^{- g m} - b\ \text e^{g m} \tag{3B}$$
Dessa relação, deduz-se que b = 0. Com esse valor e com x = 0 em (2H), deve-se ter a = Va para o circuito da Figura 3-I. Assim,

$$v = V_a \text e^{-gx} \\ i = \frac{V_a}{Z_{cr}} \text e^{-gx} \tag{3C}$$
E a impedância de entrada (isto é, para x = 0) é dada por:

$$Z_a = \frac{V_a}{V_a \big/ Z_{cr}} = Z_{cr} \tag{3D}$$
Portanto, a impedância da entrada de um cabo carregado com sua impedância característica é igual a esta última, independente do comprimento. É um dos motivos para o uso de impedâncias casadas em linhas de transmissão.
Referências
BROPHY, James J. Basic Electronics for Scientists. USA: McGraw-Hill, 1977.
U. S. NAVY. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Abr/2018 (retoques de textos e imagens. Conteúdo básico não alterado)