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Correntes Alternadas XXI

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Tópicos: Circuito Trifásico Misto |

1) Circuito Trifásico Misto

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A Figura 1-I mostra a configuração básica de fonte e carga trifásica em triângulo (ou Δ). Para análise, considera-se o sistema balanceado, isto é:

• as impedâncias das cargas são iguais,

$$Z_{ab} = Z_{bc} = Z_{ca} = Z \tag{1A}$$
• as tensões das fontes têm a mesma amplitude (ou mesmo valor eficaz), diferindo nas fases,

$$V_{ab\ ef} = V_{ef} \angle\ 0\quad V_{bc\ ef} = V_{ef} \angle -120\quad V_{ca\ ef} = V_{ef} \angle\ 120 \tag{1B}$$

Deve-se notar que essas são as tensões de fase, que são idênticas às tensões de linha para essa configuração (Δ). Sejam agora as correntes no nó a'. Segundo lei de Kirchhoff, Ia = Iab − Ica. Considerando as impedâncias e valores eficazes, tem-se:

Ia ef = Vef ∠ 0ZVef ∠ 120Z

Circuito Δ
Fig 1-I

Fazendo igualdades similares para os outros nós e resolvendo, tem-se as correntes de linha:

$$I_{a\ ef} = \sqrt3 (V_{ef}\angle -30)/Z\quad I_{b\ ef} = \sqrt3 (V_{ef}\angle -150)/Z\quad I_{c\ ef} = \sqrt3 (V_{ef}\angle 90)/Z \tag{1C}$$

As correntes de fase são dadas pela simples relação entre tensões e impedâncias:

$$I_{ab\ ef} = (V_{ef}\angle 0)/Z\quad I_{bc\ ef} = (V_{ef}\angle -120)/Z\quad I_{ca\ ef} = (V_{ef}\angle 120)/Z \tag{1D}$$

A comparação permite deduzir que, em termos de valores máximos ou eficazes, ocorre para o circuito em triângulo:

corrente de linha = √3 corrente de fase

A potência total pode ser calculada de forma similar à do circuito em Y da página anterior, com resultado também similar:

|Stotal| = 3 Vef Ief. Onde Vef e Ief são tensão e corrente de fase.

Circuitos trifásicos da fonte (gerador) e da carga não precisam ser necessariamente do mesmo tipo. A Figura 1-II dá um exemplo, comum na prática, de gerador ligado em estrela e carga em triângulo. Na hipótese do sistema balanceado, temos as tensões de fase com o mesmo valor eficaz conforme já visto na página anterior:

$$V_{an\ ef} = V_{ef}\angle\ 0\quad V_{bn\ ef} = V_{ef}\angle-120\quad V_{cn\ ef} = V_{ef}\angle\ 120 \tag{1E}$$

As impedâncias de carga iguais. Usa-se os símbolo ZΔ para indicar ligação em triângulo.

As tensões de linha, para ligação em estrela do gerador, também foram dadas na página anterior:

$$V_{ab\ ef} = \sqrt3 V_{ef}\angle\ 30\quad V_{bc\ ef} = \sqrt3 V_{ef}\angle-90\quad V_{ca\ ef} = \sqrt3 V_{ef}\angle\ 150 \tag{1F}$$

Circuito Trifásico Misto
Fig 1-II

As correntes em cada carga são dadas pela razão entre a respectiva tensão de linha e a impedância:

$$I_{ab\ ef} = (\sqrt3 V_{ef}\angle\ 30)/Z_\Delta\quad I_{bc\ ef} = (\sqrt3 V_{ef}\angle-90)/Z_\Delta\quad I_{ca\ ef} = (\sqrt3 V_{ef}\angle\ 150)/Z_\Delta \tag{1G}$$

As correntes de linha podem ser calculadas pela primeira lei de Kirchhoff para cada nó na carga:

Ia = Iab − Ica
Ib = Ibc − Iab
Ic = Ica − Ibc


Resolvendo com os valores anteriores,

$$I_{a\ ef} = (3 V_{ef}\angle\ 0)/Z_\Delta\quad I_{b\ ef} = (3 V_{ef}\angle-120)/Z_\Delta\quad I_{c\ ef} = (3 V_{ef}\angle\ 120)/Z_\Delta \tag{1H}$$

Comparando esse resultado com as correntes de linha para circuito trifásico em estrela ou Y, nota-se que, para a mesma corrente de linha e tensão de fase, a impedância das cargas em triângulo deve ser:

$$Z_\Delta = 3\ Z_Y \tag{1I}$$
Onde ZY é a impedância das cargas em estrela. Isto também significa que, para a mesma impedância e tensão de linha, a carga em triângulo demanda corrente e potência 3 vezes maior que a carga em estrela.

No exemplo da Figura 1-III, um gerador trifásico em estrela fornece corrente a uma carga em triângulo e a outra em estrela. O circuito é supostamente balanceado. Os resistores RL representam as resistências dos cabos de ligação das fases. O cabo de ligação do neutro é suposto ter uma resistência RN. Deseja-se saber as correntes de linha e potência dissipada, conhecidas essas resistências, tensão do gerador e impedâncias das cargas.

Circuito Trifásico Misto - Exemplo
Fig 1-III

O problema pode ser resolvido de forma mais simples se considerada a equivalência de cargas já mencionada na relação (1I). Para que o circuito do meio seja equivalente a um estrela, deve-se dividir as impedâncias por 3. Então, o circuito anterior é equivalente ao da Figura 1-IV, com as duas cargas em estrela em paralelo. Assim, a impedância de cada fase será o resultado do paralelismo de ZΔ/3 e ZY:

1Z = 1ZΔ/3 + 1ZY

Assim, fica determinada a impedância equivalente Z de uma carga única em estrela.

Circuito Trifásico Misto - Equivalência
Fig 1-IV

Num circuito balanceado, a corrente de neutro é nula e, portanto, o valor de RN não é considerado. A corrente de uma fase, Ia por exemplo, é dada por:

Ia_ef = Van_efZ + RL

Considerando o número complexo Z = R + j X, tem-se então a potência ativa nessa fase:

Pa = |Ia_ef|2 R

E a potência ativa das três fases é dada por 3 Pa porque o circuito é balanceado.
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
US Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Jun/2018