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Tópicos: Potência em Sistemas Trifásicos |

1) Potência em Sistemas Trifásicos

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Seja um circuito monofásico com tensão e corrente dadas por:

$$v(t) = V_p \cos (\omega t)\\i(t) = I_p \cos(\omega t + \theta) \tag{1A}$$
Sejam os valores eficazes:

$$V = V_p \big/ \sqrt 2\\I = I_p \big/ \sqrt 2 \tag{1B}$$
Substituindo,

$$v(t) = \sqrt 2\ V \cos (\omega t)\\i(t) = \sqrt 2 \ I \cos(\omega t + \theta) \tag{1C}$$
A potência instantânea é calculada por:

$$P(t) = v(t) i(t) = 2 V I \cos(\omega t) \cos(\omega t + \theta) \tag{1D}$$

Aplicando a identidade trigonométrica cos a cos b = (1/2) cos(a − b) + (1/2) cos(a + b),

$$P(t) = VI \cos(\theta) + VI \cos(2\omega t + \theta) \tag{1E}$$

Considera-se agora um sistema trifásico equilibrado. As tensões de fase são:

$$V_a = V \angle\ 0°\\V_b = V \angle -120°\\V_c = V \angle\ 120° \tag{1F}$$
Na forma trigonométrica,

$$v_a(t) = V_p \cos(\omega t + 0)\\v_b(t) = V_p \cos(\omega t - 120)\\v_c(t) = V_p \cos(\omega t + 120) \tag{1G}$$
Desde que o circuito é equilibrado, a mesma impedância Z está em cada fase. Assim, deve ser considerado o mesmo ângulo θ para as correntes:

$$i_a(t) = I_p \cos(\omega t + 0 + \theta)\\i_b(t) = I_p \cos(\omega t - 120 + \theta)\\i_c(t) = I_p \cos(\omega t + 120 + \theta) \tag{1H}$$
Considerando as igualdades (1A) e (1B), pode-se calcular a potência instantânea P(t) para cada fase segundo (1E). Nota-se que o termo (ωt) equivale a:

Para fase a: (ωt + 0)
Para fase b: (ωt − 120)
Para fase c: (ωt + 120)

Pa(t) = V I cos(θ) + V I cos(2ωt + θ)
Pb(t) = V I cos(θ) + V I cos(2ωt − 240 + θ)
Pb(t) = V I cos(θ) + V I cos(2ωt + 240 + θ)


A potência instantânea total é a soma das parcelas acima:

$$P(t) = 3 V I \cos \theta + V I\ f(t) \quad \text{onde} \tag{1I}$$
f(t) = cos(2ωt + θ) + cos(2ωt − 240 + θ) + cos(2ωt + 240 + θ)

Fazendo α = 2ωt + θ, tem-se:

f(t) = cos(α) + cos(α − 240) + cos(α + 240)

Consideram-se as identidades trigonométricas:

cos(α − 240) = cos α cos 240 + sin α sin 240
cos(α + 240) = cos α cos 240 − sin α sin 240

Substituindo, f(t) = cos(α) + cos α cos 240 + sin α sin 240 + cos α cos 240 − sin α sin 240 = cos(α) + 2 cos α cos 240 = cos(α) + 2 cos α (−0,5) = 0. Portanto, a igualdade (1I) fica reduzida a:

$$P(t) = 3 V I \cos \theta \tag{1J}$$
Conclui-se então que, no sistema trifásico simétrico e equilibrado, a potência instantânea é constante, não depende do tempo.

Sejam agora as igualdades de (1G) na forma exponencial:

$$V_a = V \mathrm e^{j(0)}\\V_b = V \mathrm e^{j(-120)}\\V_c = V \mathrm e^{j(120)} \tag{1K}$$
Para correntes, usa-se (1H) e o complemento do número complexo:

$$I_a* = I \mathrm e^{j(0-\theta)}\\I_b* = I \mathrm e^{j(120-\theta)}\\I_c* = I \mathrm e^{j(-120-\theta)} \tag{1L}$$
A potência complexa de um circuito CA é S = V I*. Para as três fases, usando os valores das tabelas acima, o resultado da soma é S = Sa + Sb + Sc = 3 V I e. Onde ϕ = 0 − θ (diferença de fase entre tensão e corrente).

Portanto, a potência aparente de um sistema trifásico é:

$$S = 3\ V\ I \tag{1M}$$
Onde V e I são os valores eficazes de tensão e corrente de fase.

Entretanto, medições práticas são feitas em geral para tensões e correntes de linha. Para a ligação Y, já visto que a corrente de linha é igual à de fase e que a tensão de linha é igual à de fase multiplicada por √3. Para a ligação Δ, a tensão de linha é igual à de fase e a corrente de linha é igual à de fase multiplicada por √3. Então, se considerados parâmetros de linha para (1M), haverá uma divisão por √3 para ambas as situações. E a potência aparente fica:

$$S = \sqrt 3\ V\ I \tag{1N}$$
Onde V e I são os valores eficazes de tensão e corrente de linha.

Consideram-se as relações da potência complexa, S = V I* = V I cos φ + j V I sin φ = P + j Q. Onde P é potência ativa e Q é potência reativa. Combinando com (1N), obtém-se as fórmulas de potência para circuitos trifásicos:

$$\begin{array}{ll}\text{Pot aparente}&S = \sqrt3VI\\\text{Pot ativa}&P = \sqrt3VI\cos \phi\\\text{Pot reativa}&Q = \sqrt3VI\sin\phi\end{array} \tag{1O}$$
Nota: fórmula válida para circuito simétrico e equilibrado. V e I são valores eficazes de tensão e corrente de linha. O ângulo ϕ é a diferença de fase entre tensão e corrente. Portanto, cos ϕ é o fator de potência.

Exemplo: uma rede trifásica simétrica de tensão de linha 173 V (valor eficaz) alimenta uma carga trifásica em Y com impedância 10 Ω ∠ 20° por fase. Determinar os valores de potência conforme igualdades acima.

Tensão de fase = 173 / √3 ≈ 100 V

Corrente de fase = 100 / 10 = 10 A = corrente de linha

Fator de potência cos ϕ = cos 20° ≈ 0,94. E também, sin ϕ ≈ 0,34

Potência aparente S = √3 × 173 × 10 ≈ 3 kVA

Potência ativa P = √3 × 173 × 10 × 0,94 ≈ 2,82 kW

Potência reativa Q = √3 × 173 × 10 × 0,34 ≈ 1,02 kVAR
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
US Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Jun/2018