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Correntes Alternadas XVI

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Tópicos: Circuito RLC Série - Fator de Qualidade e Largura de Banda | Circuito Básico RLC Paralelo |

1) Circuito RLC Série - Fator de Qualidade e Largura de Banda

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Por questão de simplicidade (evitar o fator 2π), considera-se aqui, em vez da frequência f0, a frequência angular (ou velocidade angular) de ressonância ω0, segundo fórmula da página anterior:

$$\omega_0 = {1 \over \sqrt{LC}} \tag{1A}$$
Nota-se que o valor da velocidade angular de ressonância não depende da resistência R. Mas isso não significa que outras características do circuito sejam desconexas do valor de R.

O fator de qualidade Q de um circuito RLC série é a relação entre a reatância indutiva de ressonância e o valor da resistência:

$$Q = {X_{L0}\over R} = {\omega_0 L \over R} = {1\over R}\sqrt{L\over C} \tag{1B}$$
A Figura 1-I mostra curvas da variação da intensidade de corrente com a frequência nas proximidades da ressonância para valores de R distintos (mantidos os demais parâmetros) de modo a resultar em valores de Q diferentes. Quanto maior o valor de R (menor Q), mais achatada é a curva.

Por atenuarem sinais que se afastam da ressonância, circuitos desse tipo são empregados quando se deseja uma separação ou seleção de sinais, como sintonizadores e filtros. Portanto, o fator Q é uma medida da seletividade do circuito e o seu valor deve ser definido de acordo com a aplicação. Na realidade, o fator Q está ligado à largura de banda B (bandwidth, em inglês) do circuito, que é definida pela faixa de frequências cuja potência é maior ou igual à metade da potência máxima, que, por sua vez, é a potência dissipada na frequência de ressonância.

Curvas de ressonância para diferentes fatores de qualidade
Fig 1-I

A Figura 1-II dá uma curva típica de um circuito RLC conforme equação da corrente vista em página anterior. Trabalha-se com velocidade angular ω em vez de frequência f para simplificar as fórmulas conforme já mencionado. A corrente máxima é a da ressonância I0 = Vp / R porque, nessa situação, a impedância é puramente resistiva.

Desde que a potência é proporcional ao quadrado da corrente, metade da potência máxima equivale á máxima corrente dividida por √2. Então, a largura de banda é definida pelos valores ω1 e ω2 tais que:

I1 = I2 = I0√2 = VpR √2

De acordo com (2E) da página anterior,

Ip = Vp√ [ R2 + (ωL − 1/ωC)2 ]

Largura de banda (bandwidth)
Fig 1-II

Substituindo o valor anterior da corrente,

Vp√[R2 + (ωL − 1/ωC)2] = VpR √2 = Vp√(2 R2)

Simplificando,

(ωL − 1/ωC)2 = R2

A solução dessa equação é simples e aqui não é desenvolvida. Nota-se, entretanto, que ela admite 4 soluções e que se deve desprezar as de valores negativos porque não têm sentido prático. O resultado final é:

$$\omega_{1,2} = \sqrt{\left({R\over 2L}\right)^2 + {1\over LC}}\ \pm {R\over 2 L} \tag{1C}$$
Portanto, a largura de banda é dada por:

$$B = \omega_2 - \omega_1 = {R\over L} \tag{1D}$$
Combinando a igualdade acima com (1B), chega-se à fórmula do fator de qualidade em função da velocidade angular de ressonância e da largura de banda:

$$Q = {\omega_0\over B} \tag{1E}$$

2) Circuito Básico RLC Paralelo

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No circuito RLC série visto em página anterior, supõe-se implicitamente uma fonte de tensão de referência e calcula-se a corrente circulante. No arranjo paralelo básico da Figura 2-I, é suposta uma corrente de referência fornecida pela fonte e o comportamento da tensão V é o parâmetro a determinar.

Desde que os elementos estão em paralelo, a impedância resultante é calculada de forma idêntica à de uma associação paralela de resistências:

1Z = A = 1R + 1jωL + 1(−j/ωC)

A = 1/R + j (ωC − 1/ωL)

O módulo da A é dado por:

|A| =

√[

(1/R)2 + (ωC − 1/ωL)2

]



E o ângulo de fase,

ϕA = tan−1

[

(ωC − 1/ωL)/(1/R)

]

= tan−1

[

R (ωC − 1/ωL)

]



Sendo Z o inverso de A, na forma exponencial ocorre:

Z = 1A = 1|A| ej(−ϕA)

Então, o módulo da impedância é:

$$|Z| = {1\over \sqrt{ \left({1\over R}\right)^2 + \left(\omega C - {1\over \omega L}\right)^2 }} \tag{2A}$$
E o ângulo de defasagem,

$$\phi = - \arctan R\left(\omega C - {1\over \omega L}\right) \tag{2B}$$
Circuito básico RLC paralelo
Fig 2-I

Da relação V = Z I, obtém-se a tensão de pico em termos da corrente de pico da fonte:

$$V_p = {I_p\over \sqrt{ \left({1\over R}\right)^2 + \left(\omega C - {1\over \omega L}\right)^2 } } \tag{2C}$$
Portanto, a tensão é máxima quando (ωC − 1/ωL) = 0, isto é, o circuito se encontra em ressonância (ver gráfico da Figura 2-II). Assim, a velocidade angular na ressonância é dada por:

$$\omega_0 = {1\over\sqrt{LC}} \tag{2D}$$
Nota-se que é a mesma fórmula do circuito RLC série. E a frequência de ressonância é:

$$f_0 = {\omega_0\over 2\pi} = {1\over 2\pi\sqrt{LC}} \tag{2E}$$
Ressonância do circuito RLC paralelo
Fig 2-II

Os mesmos conceitos de largura de banda e fator de qualidade, vistos no tópico anterior para o circuito em série, são aplicáveis. O desenvolvimento matemático é similar e aqui não é dado. Os resultados são:

$$\omega_{2,1} = \sqrt{\left({1\over 2RC}\right)^2+{1\over LC}}\ \pm {1\over 2RC} \tag{2F}$$

Largura de banda:

$$B = \omega_2 - \omega_1 = {1\over RC} \tag{2G}$$
Fator de qualidade:

$$Q = {\omega_0\over B} = R \sqrt{C\over L} \tag{2H}$$
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
US Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Jun/2018