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Correntes Alternadas XV

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Tópicos: Circuitos RLC - Introdução | Circuito RLC Série |

1) Circuitos RLC - Introdução

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Circuitos formados pela combinação, em série ou em paralelo, de resistor, indutor e capacitor apresentam a peculiaridade da ressonância e, por isso, têm importantes aplicações práticas. Na sua análise, pode-se resumir as impedâncias de cada componente conforme conceitos e deduções vistas em páginas anteriores:

• A impedância do resistor é dada por R, isto é, a sua resistência. Um número real, portanto.

• A impedância do indutor é dada por j ω L, onde j é a unidade imaginária (√−1), ω é a velocidade angular e L a sua indutância. É, portanto, um número imaginário puro. A expressão ω L é denominada reatância indutiva (XL).

• A impedância do capacitor é dada por − j / (ω C), onde j e ω são conforme item anterior e C é a sua capacitância. É também um número imaginário puro. A expressão 1 / (ω C) é denominada reatância capacitiva (XC).

Com a associação desses componentes em série ou em paralelo, pode-se calcular a impedância equivalente, que deve ser um número complexo, isto é, formado por uma parte real e outra imaginária. O parâmetro ω (velocidade angular) é empregado por razões de simplicidade. Nas especificações práticas de correntes alternadas, é usada quase sempre a frequência f, que pode ser convertida pela relação ω = 2 π f.


2) Circuito RLC Série

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Este circuito pode ser analisado pela aplicação da segunda lei de Kirchhoff:

v = Ri + L didt + qC

Deve-se, portanto, procurar uma solução para a equação diferencial, o que, em geral, demanda algum desenvolvimento matemático. Mas o trabalho pode ser simplificado com o conceito de impedância complexa, em que as impedâncias de cada componente são somadas, como se fosse uma associação em série de resistores.

$$Z = R + j \omega L - {j \over \omega C} = R + j\left(\omega L - {1\over \omega C}\right) \tag{2A}$$

Circuito RLC série
Fig 2-I

Pode-se também escrever:

$$Z = R + j (X_L - X_C)\\X_L = \omega L\\X_C = {1\over \omega C} \tag{2B}$$
Graficamente, a impedância é representada conforme Figura 2-II. Assim, O módulo de Z é dado por:

$$|Z| = \sqrt{R^2+X^2} = \sqrt{R^2+\left(\omega L - {1\over\omega C}\right)^2} \tag{2C}$$

E o ângulo de defasagem é:

$$\phi = \arctan {X\over R} = \arctan {\omega L - {1\over\omega C} \over R} \tag{2D}$$

Impedâncias no circuito RLC série
Fig 2-II

Na forma exponencial, valem as igualdades já vistas em páginas anteriores para corrente, tensão e impedância:

I = Ip ejωt
V = Vp ej(ωt + ϕ)
Z = Z e


Substituindo na igualdade básica da impedância, V = Z I,

Z I = Z Ip ejωt e = Z Ip ej(ωt + ϕ) = Vp ej(ωt + ϕ) = V. Portanto,

$$I_p = {V_p \over |Z|} = {V_p \over \sqrt{R^2+\left(\omega L - {1\over\omega C}\right)^2}} \tag{2E}$$

Fórmula idêntica seria obtida pela resolução da equação diferencial do início deste tópico.

Volta-se agora à fórmula anterior (2C) do módulo (ou valor absoluto) da impedância. Se a frequência (e, portanto, ω) é muito baixa, a impedância deve ser alta porque 1/(ωC) é alto. Se ela é muito alta, a impedância deve ser também alta, porque ωL é alto. Assim, deve haver um valor de frequência angular ω0 para o qual a impedância é mínima, o que ocorre quando:

$$\omega_0 L - {1\over\omega_0 C} = 0 \tag{2F}$$
Nessa condição, a impedância é igual a R, ou seja, o circuito opera como se fosse apenas o resistor. É a denominada ressonância do circuito. A frequência angular correspondente, isto é, a frequência de ressonância, pode ser determinada pelo rearranjo da igualdade:

$$\omega_0 = {1 \over \sqrt{LC}} \tag{2G}$$
Desde que ω = 2 π f,

$$f_0 = {1 \over 2\pi \sqrt{LC}} \tag{2H}$$
Da relação entre tensão de pico e corrente de pico (2E) conclui-se que, mantida a primeira constante, a variação da corrente ocorre de forma contrária à variação da impedância, ou seja, a corrente é máxima na ressonância. O gráfico da Figura 2-III dá uma curva típica para o circuito.

Ressonância do circuito RLC série
Fig 2-III

Exemplo de cálculo: sejam os seguintes valores para o circuito:

v = 12 V
R = 1,2 102 Ω
C = 1,0 10−7 F
L = 4,0 10−1 H


De acordo com a fórmula anterior, a frequência de ressonância é f ≈ 796 Hz e a correspondente frequência angular, ω = 5000 rad/s. E a corrente do circuito na ressonância é calculada por:

I = VR = 121,2 × 102 = 0,1 A

A tensão no capacitor é o produto corrente × impedância:

VC = I Z = I XC = I 1ω C = 10−15,0 × 103 × 1,0 × 10−7 = 200 V

Analogamente no indutor:

VL = I Z = I XL = I ωL = 10−1 × 5,0 × 103 × 4,0 × 10−1 = 200 V

As duas tensões são idênticas e, como estão defasadas entre si de 90 − (−90) = 180°, anulam-se mutuamente. Nota-se entretanto que, individualmente, a tensão no indutor e no capacitor é muitas vezes superior à tensão aplicada no circuito. Assim, esses componentes devem ser especificados para suportar essa tensão e as pessoas devem ter cuidado (e conhecimento) ao trabalhar com circuitos elétricos.
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
US Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Jun/2018