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Correntes Alternadas XIII

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Tópicos: Máxima Transferência de Potência |

1) Máxima Transferência de Potência

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No tópico anterior, foi dado um exemplo de cálculo da potência ativa transmitida da fonte para a carga. Neste tópico, considera-se uma situação genérica conforme Figura 1-I: uma fonte ideal Vs em série com uma impedância Zs, que alimenta uma carga de impedância Z.

Carga genérica em CA
Fig 1-I

Em módulo, a corrente é dada por:

$$|I_{ef}| = {|V_{s\ ef}| \over |Z_s + Z|} \tag{1A}$$
A potência ativa na carga é:

$$P = |I_{ef}|^2 R = R {|V_{s\ ef}|^2 \over |Z_s + Z|^2} \tag{1B}$$
As impedâncias complexas são:

$$Z_s = R_s + j X_s\\Z = R + j X \tag{1C}$$
Somando e calculando o módulo da soma,

$$|Z_s + Z| = \sqrt{(R_s + R)^2 + (X_s + X)^2} \tag{1D}$$

Substituindo na igualdade (1B),

$$P = R {|V_{s\ ef}|^2 \over (R_s + R)^2 + (X_s + X)^2} \tag{1E}$$
Para determinar o máximo valor dessa potência em relação aos parâmetros de resistências e reatâncias, deve-se usar derivadas parciais para cada e igualar a zero. Mas, no caso das reatâncias, desde que elas podem ser negativas, nota-se que o valor máximo ocorre com:

$$X_s + X = 0 \quad \text{ou}\\X_s = - X \tag{1F}$$
No caso das resistências, precisa-se desenvolver as derivadas porque elas não podem ser negativas. A igualdade (1E) pode ser reagrupada para:

$$P = {|V_{s\ ef}|^2 \over (1/R)(R_s + R)^2 + (1/R)(X_s + X)^2} \tag{1G}$$

Desde que o valor máximo é procurado, pode-se considerar a condição (1F) e essa relação fica reduzida a um valor P', que deve ser máximo:

$$P' = {|V_{s\ ef}|^2 \over R_s^2/R + 2 R_s + R} \tag{1H}$$
Pode-se derivar toda a expressão acima. Entretanto, é mais fácil usar apenas o denominador, simbolizado por D, que deve ser mínimo para valor máximo de P:

$$D = R_s^2\big/R + 2 R_s + R \tag{1I}$$
Desde que a resistência da fonte Rs é supostamente fixa, o mínimo de D é obtido fazendo nula a derivada parcial em relação a R. Derivando e resolvendo,

$${\partial D \over \partial R} = - {R_s^2 \over R^2} + 1 = 0\\\therefore R = \pm R_s \tag{1J}$$
Para saber qual solução indica valor mínimo, deve-se usar a segunda derivada:

$${\partial^2 D \over \partial R^2} = {2 R_s^2 \over R^3} \tag{1K}$$
Ela deve ser positiva para valor mínimo, o que confirma a realidade física, porque resistências não são negativas. Assim, a potência é máxima com:

$$R = R_s \tag{1L}$$
Aplicando as condições (1F) e (1L) em (1C), conclui-se que, para máxima transferência de potência, a impedância da carga deve ser igual ao conjugado complexo da impedância da fonte:

$$Z = Z_s * \tag{1M}$$
Aplicando essa condição a (1B), o valor da potência máxima transferida é dado por:

$$P_{max} = {V_{s\ ef}^2 \over 4 R}\quad \text{com}\quad R = R_s \tag{1N}$$
Impedâncias de fonte e carga
Fig 1-II

Na prática pode-se dizer que, na condição de máxima transferência de potência, o circuito da Figura 1-I deve ser equivalente ao da Figura 1-II com Rs = R e Xs = − X. Uma reatância deve ser capacitiva e a outra, indutiva devido à oposição de sinais (ocorre um circuito ressonante em série, tema tratado em páginas posteriores).
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
US Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Jun/2018