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Correntes Alternadas X

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Tópicos: Fasores - Exemplos de cálculo |

1) Fasores - Exemplos de cálculo

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Exemplo 01: determinar a corrente do circuito da Figura 1-I, considerando os parâmetros informados.

A tensão da fonte AC, conforme circuito, é V = 5 V ∠ 0°. Também conforme circuito, frequência f = 120 Hz. Portanto, velocidade (ou frequência) angular é dada por: ω = 2 π f ≈ 753,6 rad/s.

Circuito CA em série
Fig 1-I

Cada elemento tem sua impedância, conforme Figura 1-II.

Z1 = 5 + j 0
Z2 = 0 + j ω L ≈ 0 + j 3,77
Z3 = 0 − j / (ωC) ≈ 0 − j 132,7
Z4 = 10 + j 0

Impedâncias em série
Fig 1-II

Portanto, Z = ∑ Zi ≈ 15 − j 128,9. Convertendo para coordenadas polares, Z ≈ 129,8Ω ∠ −83°. Calculando a corrente,

I = VZ = 5 ∠ 0°129,8 ∠ −83° ≈ 0,0385 A ∠ 83°


Exemplo 02: determinar a corrente estacionária i(t) do circuito da Figura 1-III (fonte: prova PF 1997, com adaptações).

A partir do valor dado, v(t) = 800 cos 5t, são deduzidos: ω = 5 rad/s e V = 800 V ∠ 0°. Calculando as impedâncias,

ZR = 40 + j 0
ZL = 0 + j ω L = 0 + j 5 10 = 0 + j 50
ZC = 0 − j / (ωC) = 0 − j / (5 0,02) = 0 − j 10


A impedância total é Z = ∑ Zi = 40 + j 40. Determinando as coordenadas polares,

r = √(402 + 402) = 40 √2
ϕ = tan−1 (40/40) = 45°

Circuito RLC série
Fig 1-III

Portanto, Z = 40 √2 ∠ 45°. Determinando a corrente:

I = VZ = 800 ∠ 040 √2 ∠ 45 = 10 √2 ∠ −45°

Na forma trigonométrica, considerando o valor de ω anterior, a corrente é dada por:

i(t) = 10 √2 cos(5t − 45)

Na questão original, são dadas as alternativas de escolha:

(a) i = cos 5t + 2 sin 5t
(b) i = 10 (cos 5t + sin 5t)
(c) i = [exp(−2t)] (sin 5t)
(d) i = [exp(−3t)] (10 sin 5t − 4 cos 5t)


Para uma solução em conformidade com essas alternativas, deve-se usar a identidade trigonométrica:

M cos(ωt + ϕ) = A cos(ωt) − B sin(ωt)

Onde:

A = M cos ϕ
B = M sin ϕ


Calculando para o valor de i(t) anterior,

A = 10 √2 cos(− 45°) = 10 √2 √2 / 2 = 10
B = 10 √2 sin(− 45°) = 10 √2 (− √2 / 2) = −10


Substituindo esses valores,

i(t) = 10 √2 cos(5t − 45) = 10 cos 5t + 10 sin 5t = 10 (cos 5t + sin 5t)

Assim, alternativa (b) é correta. Nota-se que, numa prova real, a questão pode ser respondida sem todos esses cálculos. Nas alternativas (c) e (d), em razão das exponenciais, as amplitudes diminuem com o tempo e elas não podem ser correntes estacionárias. Verificando rapidamente que a diferença entre as reatâncias indutiva e capacitiva é 40 e que a resistência também é 40, conclui-se que a impedância complexa deve ter um ângulo de 45°. Assim, a corrente será defasada desse valor e, segundo a relação matemática anterior, isso só pode ocorrer se os coeficientes do seno e do co-seno forem iguais, o que é atendido pela alternativa (b).


Exemplo 03 (questão de prova, com adaptações): o circuito elétrico da Figura 1-IV é alimentado por uma fonte de tensão senoidal cuja frequência angular é igual a ω. Considerando que esse circuito funcione em regime permanente, analisar os itens (a), (b) e (c).

Circuito RL
Fig 1-IV

(a) Caso a frequência angular da tensão seja igual a 20 rad/s, a impedância equivalente nos terminais da fonte, nessa frequência angular, será composta de uma resistência igual a 10 Ω e de uma reatância indutiva também de valor igual a 10 Ω.

Calculando as impedâncias para ω = 20 rad/s,

ZR = 10 + j 0 = 10 Ω
ZL = 0 + j ω 0,5 = j 10 Ω


Portanto, o item (a) está correto.

(b) Caso a amplitude da tensão da fonte seja igual a 100 V e a frequência angular seja finita e diferente de zero, circulará pelo circuito corrente cuja fase estará sempre adiantada em relação à fase da tensão.

A impedância total é Z = ZR + ZL = 10 + j ω 0,5. Em termos de fasor, Z = |Z| ∠ ϕ, onde:

|Z| = 102 + (ω 0,5)2

ϕ = tan−1

(

ω 0,5 / 10

)



Considerando, por exemplo, a tensão da fonte V ∠ α, de acordo com as regras para divisão de números complexos, a corrente será dada por:

I = VZ = V ∠ αZ ∠ ϕ = VZ ∠ (α − ϕ)

Desde que ϕ é positivo porque ω é sempre positivo, o ângulo de fase da corrente será menor que o da tensão e, portanto, ela estará atrasada. Assim, a afirmação do item é falsa. Nota-se que essa condição não depende de um valor particular da tensão, como pode sugerir o enunciado do problema.

(c) A relação entre a magnitude da tensão da fonte e a magnitude da corrente no circuito varia linearmente com a frequência da fonte.

Nas igualdades anteriores, pode-se notar que o módulo da impedância não tem relação linear com a frequência angular ω. Portanto, a afirmação do item é falsa.
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
US Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Jun/2018