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Correntes Alternadas IX

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Tópicos: Impedância complexa (cont) | Fasores |

1) Impedância complexa (cont)

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Na página anterior foram dados os conceitos e desenvolvidas fórmulas para os elementos básicos de circuitos. A tabela seguinte é um resumo dos resultados obtidos nessa página.

Z (retangular) Z (exponencial)
Resistor $R + j 0$ $R$
Indutor $0 + j \omega L$ $\omega L \mathrm e^{j \pi / 2}$
Capacitor $0 - j {1 \over \omega C}$ ${1 \over \omega C} \mathrm e^{-j \pi / 2}$

Além do formato em coordenadas retangulares, há uma coluna para o formato exponencial, que pode ser deduzido a partir dos conceitos de números complexos.

Associações de impedâncias

Com o uso das leis de Kirchhoff, é possível deduzir que agrupamentos em paralelo e em série de impedâncias têm o mesmo comportamento dos de resistências.

Associações de impedâncias
Fig 1-I

Na associação em paralelo conforme (a) da Figura 1-I, a impedância equivalente é:

$${1 \over Z_{eq}} = {1 \over Z_1} + {1 \over Z_2} + \cdots + {1 \over Z_n} \tag{1A}$$
Para associação em série conforme (b) da figura,

$$Z_{eq} = Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n \tag{1B}$$

2) Fasores

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Na página anterior foram vistas representações complexas considerando, por simplicidade, ângulo de fase nulo para tensão e qualquer ϕ para a corrente. Assim, na forma trigonométrica,

$$v = V_p \cos \omega t\\i = I_p \cos(\omega t + \phi) \tag{2A}$$
Entretanto, no caso mais genérico, deve ser considerado ângulos de fase para ambas. Supondo x uma grandeza que pode ser tanto tensão quanto corrente, a forma senoidal é dada por:

$$x = X_p \cos(\omega t + \phi) \tag{2B}$$
Seja a representação complexa exponencial, com separação da soma no expoente:

$$X = X_p \mathrm e^{j(\omega t + \phi)} = X_p\ \mathrm e^{j \phi} \mathrm e^{j \omega t} \tag{2C}$$
Nessa relação, pode-se notar que o termo ejωt é a parte dependente do tempo. Na grande maioria das análises de circuitos CA, há uma frequência (e, por consequência, velocidade angular ω) única para todos os componentes. Seja o exemplo de um laço de circuito com as tensões V1, V2 e V3 tais que V1 = V2 + V3. Usando a forma de (2C),

V1p e1 ejωt = V2p e2 ejωt + V3p e3 ejωt

Assim, esse termo é repetido em todas as parcelas da igualdade e pode ser suprimido. E a representação complexa da grandeza (tensão ou corrente) se torna mais simples:

$$X = X_p\ \mathrm e^{j \phi} \tag{2D}$$
Essa forma é denominada fasor para a grandeza X. Portanto, o fasor acima contém apenas informação do valor de pico Xp e do ângulo de fase ϕ. É praxe distinguir o fasor através do uso de coordenadas polares com o sinal de ângulo (∠). Normalmente são usados valores eficazes em lugar dos valores de pico. Unidades de ângulo podem ser graus ou radianos.

$$\text{Tensão}\rightarrow {V_p/\sqrt 2}\ \angle\ \phi\\\text{Corrente}\rightarrow {I_p/\sqrt 2}\ \angle\ \phi \tag{2E}$$
Assim, como exemplos, 120 V ∠ −30°, 10 A ∠ π/2, etc.

Desde que os fasores não têm a variável tempo, os vetores que indicam os números complexos são estáticos e permitem a fácil visualização gráfica das intensidades de tensões e correntes e diferenças de fases entre elas.

Exemplo com Teorema de Thévenin

Com o uso de impedâncias complexas, esse teorema pode ser aplicado a circuitos AC de forma similar à dos circuitos CC: um circuito de dois terminais de saída como o da Figura 2-I equivale à forma simples da Figura 2-II com:

• Vth = Vab (tensão com os terminais abertos)

• Zth = VthIcc, onde Icc é a corrente com os terminais em curto

Exemplo de circuito
Fig 2-I

Nesta análise são usados conceitos e fórmulas para correntes contínuas, que também são válidos para circuitos AC, como leis de Kirchhoff e divisores de tensão.

Consideram-se os seguintes valores numéricos para a Figura 2-I (é também usual indicar as impedâncias complexas em coordenadas polares):

V  = 12 V ∠ 0,0 rad
Z1 =  3 Ω ∠ 0,5 rad
Z2 =  2 Ω ∠ 0,5 rad
Z3 =  3 Ω ∠ 0,5 rad

Sem carga entre os terminais a e b, não há corrente em Z2. Portanto, a tensão é definida pelo divisor de tensão formado por Z1 e Z3:

Vth = V Z3Z1 + Z3 = (12 ∠ 0) (3 ∠ 0,5)(3 ∠ 0,5) + (3 ∠ 0,5) = 6 V ∠ 0 rad

Equivalente de Thévenin
Fig 2-II

Com os terminais em curto, a fonte alimenta Z1 em série com a associação paralela Z2 e Z3:

Z2 || Z3 = Z2 Z3Z2 + Z3 = 6 ∠ 15 ∠ 0,5 = 1,2 ∠ 0,5

Calculando a associação em série, Z1 + (Z2 || Z3) = (4,2 Ω ∠ 0,5 rad). E a corrente na fonte é dada por:

I = VZ1 + (Z2 || Z3) = 12 ∠ 04,2 ∠ 0,5 = 2,8571 ∠ −0,5

Mas essa é a corrente na fonte. Com os terminais em curto, a corrente que passa por eles é a corrente em Z2, que está em paralelo com Z3. Portanto,

Icc = I Z3Z2 + Z3 = I1 + Z2/Z3

Icc = 2,8571 ∠ −0,5(1 ∠ 0) + (2 ∠ 0,5)/(3 ∠ 0,5) = 1,7143 ∠ −0,5

Zth = VthIcc = 6 ∠ 01,7143 ∠ −0,5 = 3,5 Ω ∠ 0,5 rad
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
US Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Jun/2018