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Correntes Alternadas VIII

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Tópicos: Representação Complexa da Tensão e Corrente Senoidais | Impedância Complexa |


1) Representação Complexa da Tensão e Corrente Senoidais

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Em páginas anteriores pode ser visto que a análise de circuitos de corrente alternada com o uso de funções trigonométricas implica equações diferenciais trabalhosas e certa dificuldade de visualização, mesmo nos casos mais simples. Seja uma tensão senoidal genérica dada pela função cosseno e ângulo de fase nulo:

$$v = V_p \cos \omega t \tag{1A}$$
Seja agora uma tensão fictícia representada pela função seno com os mesmos parâmetros e multiplicada por um fator (a) qualquer:

$$a V_p \sin \omega t \tag{1B}$$
Desde que cosseno e seno diferem apenas no deslocamento angular, pode-se supor que a resposta do circuito será na mesma proporção da anterior (1A). Considerando o princípio da superposição, pode-se também imaginar que essas duas parcelas podem ser somadas e, no resultado, a parcela correspondente a (1A) pode ser recuperada:

$$V_p \cos \omega t + a V_p \sin \omega t \tag{1C}$$
Se ao fator a é atribuída a unidade imaginária (j = √−1), a expressão torna-se um número complexo, que pode ser dado em forma exponencial segundo a relação de Euler:

$$V = V_p \cos \omega t + j V_p \sin \omega t = V_p \mathrm e^{j\omega t} \tag{1D}$$

Portanto, a tensão original v de (1A) é a parte real (ℜ) do número complexo acima, ou seja,

$$v = \Re(V) = \Re(V_p \mathrm e^{j\omega t}) \tag{1E}$$
Para a corrente senoidal, o procedimento é similar. A tabela abaixo dá o resumo das formulações, considerando ângulos de fase genéricos α e β para tensão e corrente respectivamente

Tabela 1-I
Grandeza Forma trigonométrica Forma complexa exponencial
Tensão $$v = V_p \cos (\omega t + \alpha)$$ $$V = V_p \mathrm e^{j(\omega t + \alpha)}$$
Corrente $$i = I_p \cos(\omega t +\beta)$$ $$I = I_p\ \mathrm e^{j(\omega t+\beta)}$$

A representação complexa facilita operações como multiplicação, divisão, derivação e integração. Mais informações sobre números complexos podem ser vistas na página Matemática - Números Complexos deste site.


2) Impedância Complexa

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Na forma complexa da corrente alternada senoidal, o parâmetro equivalente à resistência dos circuitos de corrente contínua é denominado impedância complexa Z e é definido como:

$$Z = {V \over I} \tag{2A}$$
Onde V e I são tensão e corrente na forma complexa conforme Tabela 1-I do tópico anterior. Asim,

$$Z = {V_p \over I_p} \mathrm e^{j\phi} \tag{2B}$$
Onde ϕ = α − β (diferença entre fases de tensão e de corrente).

A impedância tem a mesma dimensão da resistência elétrica e não é dependente do tempo. A seguir, impedância para elementos básicos de circuitos.

Impedância do resistor

Para um resistor de valor R percorrido por uma corrente I, a tensão é o simples produto de ambos, V = R I. Então, conforme (2A),

$$Z_R = R \tag{2C}$$
Impedância de um resistor
Fig 2-I

Desde que R é um número real, pode-se dizer que, na impedância complexa de um resistor, a parte imaginária é nula, ou seja ϕ = 0 em (2B). Assim, usando a representação retangular do número complexo,

$$Z_R = R + j 0 = R\ \mathrm e^{j0} \tag{2D}$$
A Figura 2-I dá a representação gráfica dessa igualdade.

Impedância do indutor

Na forma complexa da corrente da Tabela 1-I, os expoentes são separados conforme igualdade a seguir.

$$I = I_p \mathrm e^{j(\omega t+\beta)} = I_p \mathrm e^{j\beta} \mathrm e^{j\omega t} \tag{2E}$$
Considerando a relação básica para tensão no indutor,

$$V = L {dI \over dt} = j \omega L I_p \mathrm e^{j\beta} \mathrm e^{j\omega t} \tag{2F}$$
Aplicando (2A) e simplificando, chega-se ao resultado:

$$Z_L = j \omega L \tag{2G}$$
Impedância de um indutor
Fig 2-II

Para uma formulação mais explícita, pode-se usar a representação retangular e conversão para exponencial do número complexo, similar à anterior:

$$Z_L = 0 + j \omega L = \omega L\ \mathrm e^{j(\pi/2)} \tag{2H}$$
Portanto, a impedância complexa de um indutor é um número complexo com a parte real nula e a parte imaginária igual a ωL, que é a sua reatância indutiva XL, conforme visto em página anterior. Representação gráfica na Figura 2-II.

Impedância do capacitor

Para um capacitor de capacitância C, a corrente se relaciona com tensão segundo fórmula já vista em página anterior:

$$I = C {dV \over dt} \tag{2I}$$
Substituindo V pela forma exponencial da Tabela 1-I e derivando,

$$I = j \omega C V_p\ \mathrm e^{j\alpha} \mathrm e^{j\omega t} \tag{2J}$$
Substituindo, em (2A), esse valor de I e o de V da Tabela 1-I e simplificando,

$$Z_C = j {-1 \over \omega C} \tag{2K}$$
Impedância de um capacitor
Fig 2-III

Explicitando a notação complexa e convertendo para o formato exponencial,

$$Z_C = 0 + j {-1 \over \omega C} = {1 \over \omega C} \mathrm e^{j (-\pi/2)} \tag{2L}$$
Ou seja, a impedância complexa para o capacitor é um número complexo com a parte real nula e a parte imaginária igual a −1 / (ω C), que é o negativo da sua reatância capacitiva XC. Ver Figura 2-III.

Impedância de um elemento genérico

Pode-se supor que a impedância de uma carga qualquer seja dada, de forma generalizada, por:

$$Z = R + j X \tag{2M}$$
Onde R é o resultado da combinação das resistências e X é o resultado da combinação de reatâncias indutivas e capacitivas. A Figura 2-IV dá a representação gráfica para esse caso. O valor de X pode ser positivo ou negativo, dependendo da predominância de indutores ou de capacitores.

Impedância de um elemento genérico
Fig 2-IV

Usando as relações de conversão para números complexos,

$$Z = R + j X = |Z| \mathrm e^{j \phi} \tag{2N}$$
Onde,

$$|Z| = \sqrt {R^2 + X^2}\\\phi = \arctan {X \over R} \tag{2O}$$
Ou seja, |Z| é o módulo da impedância do elemento e ϕ é a diferença entre de fases de tensão e de corrente.
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
US Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Jun/2018