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Correntes Alternadas VI

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Tópicos: Integrador e Diferenciador |

1) Integrador e Diferenciador

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O circuito da Figura 1-I é o mesmo do tópico Filtro RC, acrescido de uma indicação da tensão sobre o capacitor vC. De acordo com relações dadas nesse tópico, a tensão de saída é:

$$v_o = R\ i = R I_p \sin \omega t = R {V_p \over \sqrt{R^2 + \left({1\over \omega C}\right)^2}} \sin \omega t \tag{1A}$$

Simplificando,

$$v_o = {V_p \over \sqrt{1 + \left({1\over R \omega C}\right)^2}} \sin \omega t \tag{1B}$$
Supõe-se agora que a frequência (e, portanto, a velocidade angular ω) de operação e os valores de R e C são tais que o produto RωC seja pequeno:

$$R \omega C \ll 1 \tag{1C}$$
Nessa condição, a igualdade anterior (1B) pode ser escrita na forma aproximada:

$$v_o \approx V_p R \omega C \sin \omega t \tag{1D}$$
Circuito RC como integrador e diferenciador
Fig 1-I

Segundo relação (1I) do tópico mencionado,

$$\tan \phi = - {1 \over R \omega C} \tag{1E}$$
Considerando a hipótese (1C),

$$\phi \approx -\pi/2 \tag{1F}$$
Então, para a tensão de entrada:

$$v_i = V_p \sin(\omega t + \phi) = V_p \sin(\omega t - \pi/2) = V_p \cos \omega t \tag{1G}$$

$$\therefore {dv_i \over dt} = - V_p \omega \sin \omega t \tag{1H}$$
De (1D), conclui-se que:

$$v_o \approx -RC {dv_i \over dt} \tag{1I}$$
Ou seja, na aproximação considerada em (1C), o circuito atua como um diferenciador.

Analisa-se agora a tensão no capacitor vC. Da relação básica do capacitor, a carga elétrica é q = C vC. Mas corrente elétrica é definida por i = dq/dt. Portanto,

$$i = C {dv_C \over dt} \tag{1J}$$
A tensão é obtida por integração:

$$v_C = {1 \over C} \int i dt = {1 \over C} \int I_p \sin \omega t\ dt = - {I_p \over \omega C} \cos \omega t \tag{1K}$$

Segundo (1K) do tópico Filtro RC,

$$I_p = {V_p \over \sqrt{R^2 + \left({1\over \omega C}\right)^2} } \tag{1L}$$
Substituindo esse valor de Ip em (1K),

$$v_C = -{V_p \over R\sqrt{1 + \left({1\over R\omega C}\right)^2}}\ {1 \over \omega C} \cos \omega t \tag{1M}$$

Neste caso, supõe-se que a frequência (e, portanto, ω) de operação e os valores de R e C são tais que o produto RωC é muito grande,

$$R \omega C \gg 1 \tag{1N}$$
E a igualdade anterior é escrita de forma aproximada:

$$v_C \approx - {V_p \over R\omega C} \cos \omega t \tag{1O}$$
Considerando (1N) em (1E), tem-se:

$$\phi \approx 0 \tag{1P}$$
Assim, usando a definição de corrente alternada,

$$v_i = V_p \sin(\omega t + \phi) = V_p \sin \omega t \tag{1Q}$$
Portanto,

$$\int v_i dt = -{V_p \over \omega} \cos \omega t \tag{1R}$$
Considerando (1O),

$$v_C \approx {1 \over RC} \int v_i dt \tag{1S}$$
Portanto, o circuito funciona como um integrador nas condições mencionadas (1N), para tensão de saída tomada sobre o capacitor.
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
US Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Jun/2018