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Correntes Alternadas V

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Tópicos: Filtro RC |

1) Filtro RC

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No circuito da Figura 1-I, há um capacitor em série com um resistor. É alimentado por uma fonte de corrente alternada senoidal vi e a tensão de saída vo é a tensão no resistor.

$$v_i = V_p \sin(\omega t + \phi) \tag{1A}$$
Conforme a lei das tensões de Kirchhoff, a soma das tensões em um laço é nula. Assim, a tensão da fonte deve ser igual à tensão no resistor mais a tensão no capacitor. Das relações de eletricidade, para o capacitor, q = C v, onde q é a carga elétrica e C a capacitância. Portanto, considerando a relação anterior,

$$v_i = V_p \sin(\omega t + \phi) = {q \over C} + Ri \tag{1B}$$
Derivando em relação ao tempo t e lembrando que a corrente é dada por i = dq/dt,

$$\omega V_p \cos(\omega t + \phi) = R {di\over dt} + {1\over C} i \tag{1C}$$

Para a corrente alternada:

$$i = I_p \sin \omega t \quad \text{Portanto,}\\{di\over dt} = \omega I_p \cos\omega t \tag{1D}$$
Filtro RC
Fig 1-I

Substituindo esses valores em (1C),
$$\omega V_p \cos(\omega t + \phi) = R \omega I_p \cos\omega t + {1\over C} I_p \sin \omega t \tag{1E}$$

Da trigonometria, tem-se cos(ωt + ϕ) = cos ωt cos ϕ − sin ωt sin ϕ. Substituindo,

ω Vp cos ωt cos ϕ − ω Vp sin ωt sin ϕ = R ω Ip cos ωt + (Ip/C) sin ωt. Reagrupando,

$$(\omega V_p \cos \phi - R \omega I_p) \cos \omega t - \left(\omega V_p \sin \phi + {I_p\over C}\right) \sin \omega t = 0 \tag{1F}$$

Para ωt = 0, tem-se cos ωt = 1 e também sin ωt = 0. Assim,

$$\omega V_p \cos \phi = R \omega I_p \tag{1G}$$
Para ωt = π/2, tem-se cos ωt = 0 e também sin ωt = 1. Assim,

$$\omega V_p \sin \phi = - {I_p\over C} \tag{1H}$$
Dividindo as igualdades (1H)/(1G) e simplificando,

$${\sin\phi \over \cos \phi} = \tan \phi = - {1 \over R \omega C} \tag{1I}$$
Simplificando e elevando ao quadrado a igualdade (1G),

$$V_p^2 cos^2\phi = R^2 I_p^2 \tag{1J}$$
Considerando, em (1J), a identidade trigonométrica cos2ϕ = 1 / (1 + tan2ϕ) e o valor de tan ϕ de (1I), obtém-se o resultado após simplificação:

$$V_p = I_p \sqrt{R^2 + \left({1\over \omega C}\right)^2} \tag{1K}$$
Substituindo Vp em (1A),

$$v_i = I_p \sqrt{R^2 + \left({1\over \omega C}\right)^2} \sin(\omega t + \phi) \tag{1L}$$

A tensão da saída é:

$$v_o = v_R = R\ i = R I_p \sin \omega t \tag{1M}$$
Dividindo os valores de pico de (1M) e (1L),

$${V_{op}\over V_{ip}} = {1 \over \sqrt{1 + \left({1\over R \omega C}\right)^2}} \tag{1N}$$
Considerando que ω = 2 π f,

$${V_{op}\over V_{ip}} = {1 \over \sqrt{1 + \left({1\over R 2 \pi f C}\right)^2}} \tag{1O}$$
Resposta de frequência do filtro passa-altas
Fig 1-II

A Figura 1-II dá um gráfico típico da variação de Vop / Vip com a frequência. Demais parâmetros (R e C) arbitrados. O circuito atenua as frequências mais baixas e, por isso, é também denominado filtro passa-altas.
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
US Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Jun/2018