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Correntes Alternadas IV

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Tópicos: Filtro RL |

1) Filtro RL

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No circuito da Figura 1-I, a série RL é alimentada com uma tensão supostamente senoidal vi. A fim de se obter a tensão sobre o resistor vo em função da tensão de entrada e dos valores R e L, aplica-se inicialmente a lei das tensões de Kirchhoff:

$$v_i = v_R + v_L = R i + L {di\over dt} \tag{1A}$$
Se a tensão de entrada vi é senoidal, a corrente i também deve ser, Assim, ela tem a formulação: i = Ip sin ωt. E a derivada em relação ao tempo é di/dt = ω Ip cos ωt. Substituindo em (1A),

$$v_i = R I_p \sin \omega t + \omega L I_p \cos \omega t \tag{1B}$$
Mas vi é a tensão alternada de uma fonte senoidal. Considerando ϕ o ângulo de fase entre tensão e corrente,

$$v_i = V_p \sin(\omega t + \phi) \tag{1C}$$
Usando identidades trigonométricas,

$$v_i = V_p \cos \phi \sin \omega t + V_p \sin \phi \cos \omega t \tag{1D}$$

Filtro RL
Fig 1-I

Substituindo agora em (1B),

$$R I_p \sin \omega t + \omega L I_p \cos \omega t = V_p \cos \phi \sin \omega t + V_p \sin \phi \cos \omega t \tag{1E}$$

Pode-se supor que os coeficientes de sin ωt e de cos ωt são iguais para ambos os lados. Então,

$$R I_p = V_p \cos \phi\\\omega L I_p = V_p \sin \phi \tag{1F}$$
Dividindo ambas,

$$\tan \phi = {\omega L \over R} \tag{1G}$$
Elevando a primeira de (1F) ao quadrado e reagrupando,

$$V_p^2 = {R^2 I_p^2 \over \cos^2 \phi} \tag{1H}$$
Agora, é considerada a igualdade trigonométrica 1 + tan2ϕ = 1 / cos2ϕ. Substituindo em (1H) e usando (1G),

Vp2 = R2 Ip2 (1 + tan2ϕ) = R2 Ip2 ( 1 + ω2 L2 / R2 ) = Ip2 (R2 + ω2 L2)

Portanto,

$$V_p = I_p \sqrt{R^2 + \omega^2 L^2} \tag{1I}$$
Substituindo em (1C),

$$v_i = I_p \sqrt{R^2 + \omega^2 L^2} \sin(\omega t + \phi)\\\text{Onde} \quad \tan \phi = {\omega L \over R} \tag{1J}$$
A tensão de saída é a tensão no resistor:

$$v_o = v_R = R i = R I_p \sin \omega t \tag{1K}$$
Portanto, o valor de pico da tensão de saída é:

$$V_{op} = R I_p \tag{1L}$$
Para a entrada, conforme (1J),

$$V_{ip} = I_p \sqrt{R^2 + \omega^2 L^2} \tag{1M}$$
E a relação entre ambas é:

$${V_{op} \over V_{ip}} ={ 1 \over \sqrt{1+\left({\omega L\over R}\right)^2}} \tag{1N}$$
Substituindo ω por 2 π f,

$${V_{op} \over V_{ip}} ={ 1 \over \sqrt{1+\left({2 \pi f L\over R}\right)^2}} \tag{1O}$$
Resposta de frequência do filtro passa-baixas
Fig 1-II

O gráfico da Figura 1-II dá exemplo típico da variação de Vop / Vip com a frequência f de acordo com a igualdade anterior (demais parâmetros, L e R, foram arbitrados). A característica notável é a diminuição da tensão de saída com o aumento da frequência. Por isso, o circuito é também denominado filtro passa-baixas.
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
US Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Jun/2018