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Correntes Alternadas III

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Tópicos: Reatância Capacitiva | Reatância Indutiva |

1) Reatância Capacitiva

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No circuito da Figura 1-I, uma tensão supostamente senoidal é aplicada a um capacitor C. Segundo relações básicas da eletricidade, a carga elétrica q de um capacitor é igual ao produto da sua capacitância C pela tensão entre os terminais:

$$q = C v \tag{1A}$$
Derivando em relação ao tempo, dq/dt = C dv/dt. Mas, de acordo com a definição de corrente elétrica, dq/dt = i Portanto,

$$i = C {dv \over dt} \tag{1B}$$
A tensão aplicada é supostamente senoidal. Assim, conforme já visto,

$$v(t) = V_p \sin \omega t \tag{1C}$$
Substituindo em (1B) e derivando a função seno,

$$i = \omega C V_p \cos \omega t \tag{1D}$$
Capacitor em corrente alternada
Fig 1-I

Considerando agora, a identidade trigonométrica cos x = sin(x + π/2),

$$i = \omega C V_p \sin \left(\omega t + {\pi\over 2} \right) \tag{1E}$$
Comparando a igualdade acima com (1C), conclui-se que, no capacitor, a corrente é adiantada de π/2 (90°) em relação à tensão. Desde que essa igualdade representa uma corrente senoidal, o fator que multiplica a função seno é a corrente de pico:

$$i = I_p \sin \left(\omega t + {\pi\over 2} \right)\\\text{Onde} \quad I_p = \omega C V_p \tag{1F}$$
Assim, a tensão de pico pode ser dada em função da corrente de pico:

$$V_p = {1 \over \omega C} I_p \tag{1G}$$
Comparando essa igualdade com a definição de resistência elétrica R = V/I, conclui-se que o termo 1/(ωC) deve ter dimensão desta última, funcionando como uma espécie de 'resistência' do capacitor à corrente alternada. Ele é denominado reatância capacitiva, XC, do capacitor:

$$X_C = {1 \over \omega C} \tag{1H}$$
Substituindo em (1G),

$$V_p = X_C I_p \tag{1I}$$
Relação similar ocorre para valores eficazes porque eles são a divisão dos de pico pela raiz quadrada de 2. Vale notar que, num resistor ideal, a resistência R só depende da configuração física. Num capacitor, mesmo ideal, a reatância capacitiva depende da configuração física (capacitância C) e da frequência (ω) da corrente alternada aplicada.


2) Reatância Indutiva

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No caso do indutor (Figura 2-I), a relação básica é tensão proporcional à variação da corrente com o tempo. O fator de proporcionalidade é a indutância L.

$$v = L {di \over dt} \tag{2A}$$
Para facilitar o desenvolvimento matemático, supõe-se a aplicação de uma corrente com ângulo de fase −π/2,

$$i(t) = I_p \sin \left(\omega t - \frac{\pi}{2} \right) \tag{2B}$$
Substituindo na anterior e derivando, tem-se o resultado:

$$v = \omega L I_p \cos \left(\omega t - \frac{\pi}{2} \right) \tag{2C}$$
Indutor em corrente alternada
Fig 2-I

Considerando a identidade trigonométrica, cos x = sin(x + π/2),

$$v = \omega L I_p \sin \omega t \tag{2D}$$
Dessa relação e de (2B), pode-se concluir que, no indutor, a corrente é atrasada de π/2 (90°) em relação à tensão.

De forma similar à da reatância capacitiva do tópico anterior, define-se para o indutor uma grandeza de dimensão de resistência elétrica, denominada reatância indutiva XL:

$$X_L = \omega L \tag{2E}$$
E, também de forma similar, a tensão é dada pelo produto da reatância indutiva pela corrente:

$$V_p = X_L I_p \tag{2F}$$
Essa relação também vale para valores eficazes. E a reatância indutiva depende da configuração física do indutor (indutância L) e da frequência da corrente aplicada (ω). Entretanto, ao contrário da reatância capacitiva, ela aumenta com o aumento da frequência.
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
US Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Jun/2018