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Correntes Alternadas I

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Tópicos: Equação Geral da Corrente Senoidal | Valor Eficaz |

1) Equação Geral da Corrente Senoidal

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A característica básica de uma corrente alternada é a sua variação, normalmente periódica, com o tempo. No circuito simples da Figura 1-I, uma fonte de corrente alternada CA (ou AC, do inglês) alimenta uma carga genérica. Assim, a tensão e a corrente na carga são funções do tempo, v(t) e i(t) respectivamente (é usual a notação com dispensa da indicação do tempo, ou seja, v e i simplesmente).

Circuito simples de CA
Fig 1-I

Em circuitos de corrente contínua, é comum simbolizar a carga com um resistor. No caso de CA, dispositivos que armazenam energia como capacitores e indutores têm comportamentos distintos. No circuito da figura, o símbolo indica uma carga genérica, podendo ser qualquer combinação de resistores, capacitores e indutores.

A corrente alternada mais simples (e usada na prática) é denominada senoidal porque é expressa matematicamente pela função seno. Em (a) da Figura 02, o gráfico padrão da função sin x para o intervalo 0 < x < 4π. Entretanto, a formulação mais genérica deve ser como em (b) da figura:

$$\sin(x + \phi) \tag{1A}$$
Onde ϕ é o ângulo de fase. Representa um deslocamento angular em relação à origem. Assim, em (a) da figura ocorre ϕ = 0 e, em (b) da mesma figura, ϕ > 0.

Função seno
Fig 1-II

Segundo relações trigonométricas,

$$\cos x = \sin\left( \frac{\pi}{2} - x\right) \tag{1B}$$
Conclui-se, portanto, que a corrente alternada senoidal também pode ser representada pela função cosseno. Nesta série de páginas, ambas as funções podem ser usadas.

Para a adequada representação de tensão e corrente senoidais, segundo a formulação básica do movimento periódico, o ângulo x das igualdades anteriores deve ser igual à velocidade angular (ω) multiplicada pelo tempo (t). E a função seno (que só varia entre −1 e +1) deve ser multiplicada por um valor indicativo da amplitude ou valor de pico.

Quanto ao ângulo de fase, é comum considerar zero para uma grandeza (tensão, por exemplo) e ϕ para a outra. Assim, o ângulo ϕ é a diferença de fase entre corrente e tensão.

Corrente senoidal
Fig 1-III

Portanto, tensão (v) e corrente (i) senoidais podem ser escritas conforme equações a seguir.

$$v = V_p \sin(\omega t)\\i = I_p \sin(\omega t+\phi) \tag{1C}$$
v, ivalores instantâneos. Equivalem às notações v(t) e i(t) respectivamente
Vp, Ipvalores de pico
ωvelocidade angular (unidade SI: rad/s)
ttempo (s)
ϕângulo de fase (rad)

A freqüência f (unidade SI: hertz, Hz, equivalente a 1/s) é relacionada com a velocidade angular (ω) pela igualdade:

$$\omega = 2 \pi f \tag{1D}$$
O período T é o tempo para um ciclo completo, ou seja, ωT = 2 π. Portanto,

$$T = {2\pi \over \omega} = {1 \over f} \tag{1E}$$
Obs: a velocidade angular (ω) é também denominada frequência angular. Em vários estudos, é preferível o uso de ω no lugar de f para eliminar a repetição excessiva do fator 2π.


2) Valor Eficaz

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Em (a) e em (b) da Figura 01, o mesmo resistor R é alimentado com corrente alternada e com corrente contínua (CC), respectivamente. Para o circuito CC, a potência dissipada é:

$$P = R I_{cc}^2 = {1\over R} V_{cc}^2 \tag{2A}$$
Na corrente alternada, essa fórmula indica a potência instantânea, que é variável. Assim, para efeito de comparação, deve ser usada uma integração ao longo de um ciclo (período T), pois ele se repete.

Valor eficaz
Fig 2-I

Valor eficaz Ief de uma corrente alternada é o valor de uma corrente contínua que resulta na mesma dissipação de potência no resistor R. Assim, ao longo de um intervalo de tempo (um período T, por exemplo), a energia fornecida deve ser a mesma. Considerando que energia é dada pela integração do produto da potência por intervalos de tempo,

$$\int_0^T R I^2_{ef} dt =\int_0^T R i^2(t) dt \tag{2B}$$
R pode ser eliminado em ambos os lados por ser constante. No lado esquerdo, a corrente Ief é supostamente contínua e, portanto, também constante. Assim, a integral nesse lado pode ser resolvida. Fazendo isso e isolando a corrente,

$$I_{ef} =\sqrt{ {1\over T} \int_0^T R i^2(t) dt} \tag{2C}$$
A fórmula acima corresponde à definição matemática de valor médio quadrático da função i(t). O valor eficaz é denominado, de forma mais comum, pela sigla rms (do inglês root mean square).

Para corrente alternada senoidal, i(t) em (2C) pode ser substituído pela igualdade em (1C). Omitindo o desenvolvimento matemático, a solução para o valor eficaz da corrente senoidal é:

$$I_{ef} = {I_p \over \sqrt 2} \tag{2D}$$
Adaptando as fórmulas anteriores para tensão, obtém-se resultado similar para o valor eficaz da tensão senoidal:

$$V_{ef} = {V_p \over \sqrt 2} \tag{2E}$$
Na prática (e em muitos desenvolvimentos teóricos), correntes e tensões alternadas são quase sempre referidas por seus valores eficazes. Amperímetros e voltímetros comuns indicam correntes e tensões eficazes. Entretanto, instrumentos mais simples só podem medir a forma senoidal. Nos casos de correntes e tensões não senoidais, há tipos mais sofisticados, denominados true rms.
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
US Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Jun/2018