Anotações & Informações | Fim pág | Voltar |

Vibrações Mecânicas 1-IV

| Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Tópicos: Vibrações Forçadas: Formulação Básica | Oscilações Amortecidas Forçadas | Analogia Elétrica | Exemplo de Aplicação |

1) Vibrações Forçadas: Formulação Básica

(Topo | Fim pág)

Em muitos casos práticos, vibrações são transmitidas de um sistema para outro através de elementos construtivos como acoplamentos, estruturas, apoios, etc. Nas página anteriores foi dado o conceito básico de um conjunto elástico que oscila na sua frequência natural (ou de ressonância). No caso de vibração forçada, o sistema é levado a oscilar em frequência não necessariamente igual à de ressonância. A Figura 1-I exibe o conjunto básico massa-mola de páginas anteriores. A diferença é a aplicação de uma força externa periódica O, cuja intensidade representa um movimento harmônico simples:

$$O = O_m \sin \omega t \tag{1A}$$
Onde Om é o valor máximo ou amplitude conforme já visto. De forma similar, aplica-se a segunda lei de Newton para a resultante das forças no corpo:

$$O_m \sin \omega t + P - k(e + x) = ma = m \frac{d^2x}{dt^2} \tag{1B}$$

Em (1A) do tópico Conjunto Massa-Mola foi dado que o peso próprio é P = k e. Substituindo,

$$m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = O_m \sin \omega t \tag{1C}$$
Essa hipótese representa uma situação real em que a força é aplicada diretamente no corpo oscilante. Exemplo: um motor suspenso em molas, que tem o eixo desbalanceado ou que aciona uma peça excêntrica.

Esquema de vibrações forçadas
Fig 1-I

Outra situação possível é a aplicação de um movimento alternativo na mola conforme Figura 1-II. Considera-se um movimento harmônico simples, fornecido por um disco que gira com uma velocidade angular constante ω e um sistema de pino e guia conforme figura. Assim, em um instante genérico t, dado em (c) da figura, a deformação da mola pode ser indicada por $e + x - R \sin \omega t$. Aplicando a segunda lei de Newton para a resultante,

$$P - k(e + x - R \sin \omega t) = ma = m \frac{d^2x}{dt^2}$$
Considerando que P = k e, a substituição resulta em:

$$m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = k R \sin \omega t \tag{1D}$$
Essa relação equivale a (1C) com:

$$O_m = kR \tag{1E}$$
Exemplo prático de vibrações forçadas
Fig 1-II

Portanto, pode-se dizer que as situações das Figuras 1-I e 1-II são equivalentes. O desenvolvimento da solução para a equação diferencial não é apresentado aqui. O resultado é:

$$x = A \sin \omega_n t + B \cos \omega_n t + C \sin \omega t \tag{1F}$$

$$\omega_n = \sqrt \frac{k}{m} \tag{1G}$$
Para a relação acima, ver (1F) do tópico Conjunto Massa-Mola.

$$C = \frac{O_m \big/ k}{1 - (\omega \big/ \omega_n)^2} \tag{1H}$$
Nota-se que a igualdade (1F) equivale à soma de dois movimentos harmônicos:

• A sin ωnt + B cos ωnt, que é o movimento na frequência de ressonância do conjunto massa-mola, (= ωn / 2 π), conforme visto em página anterior. As constantes A e B são definidas pelas condições iniciais do movimento, segundo considerações na mesma página.

• C sin ωt, que é um movimento na mesma frequência (= ω / 2 π) do movimento aplicado.

Desde que (Om/k) = R é a amplitude máxima do movimento aplicado e C, a amplitude do mesmo movimento no conjunto, pode-se definir uma relação entre ambos:

$$\beta = \frac{C}{O_m\big/k} = \frac{1}{1 - (\omega\big/\omega_n)^2} \tag{1I}$$
Fator de multiplicação do movimento em função da velocidade angular
Fig 1-III

Portanto β pode ser entendido como um fator de multiplicação do movimento. A Figura 1-III mostra um gráfico aproximado de β em relação a ω/ωn. Observa-se que, se o movimento aplicado tem frequência igual à de ressonância do conjunto (ω = ωn), a amplitude da oscilação é teoricamente infinita. Na prática, ela é contida por limitações energéticas, atritos, restrições físicas, etc.

De qualquer forma, na ressonância há máxima transferência de energia, o que pode provocar falhas estruturais. Como exemplo, cita-se a regra militar que proíbe tropas marcharem de forma cadenciada sobre pontes, que são em geral estruturas de grande massa e, portanto, de baixa frequência de ressonância (ver as relações ωn = √ (k/m) e f = ωn/2 π). Ela pode, portanto, estar próxima da cadência dos passos e causar um colapso na estrutura.


2) Oscilações Amortecidas Forçadas

(Topo | Fim pág)

Se, em um dos sistemas forçados do tópico anterior, é acrescentado um elemento amortecedor (Figura 2-I), pode-se usar procedimento similar ao apresentado em página anterior. É considerada uma força atuante D = c v, onde c é o coeficiente de amortecimento e v, a velocidade (dx/dt). Assim, uma das equações iniciais dadas no tópico anterior, (1C) por exemplo, torna-se:

$$m \frac{d^2x}{dt^2} + c \frac{dx}{dt} + kx = O_m \sin \omega t \tag{2A}$$
Omitindo o desenvolvimento, a solução e respectivos parâmetros são dados por:

$$x = C \sin (\omega t - \phi) \tag{2B}$$
$$C = \frac{O_m}{\sqrt{(k - m\omega^2)^2 + (c\omega)^2}} \tag{2C}$$
$$\tan \phi = \frac{c \omega}{k - m \omega^2} \tag{2D}$$
Exemplo mecânico de oscilações amortecidas forçadas
Fig 2-I

Considerando que o deslocamento máximo do movimento aplicado é R = Om/k (tópico anterior) e c0 = 2 m ωn (coeficiente de amortecimento crítico. Ver página anterior), pode-se obter uma relação entre a amplitude do movimento aplicado e a amplitude do mesmo movimento no sistema:

$$\beta = \frac{C}{R} = \frac{C}{O_m\big/k} \tag{2E}$$
Isso significa uma comparação das amplitudes de forma similar à do tópico anterior:

$$\beta = \frac{1}{\sqrt{[1 - (\omega/\omega_n)^2]^2 + [2 (c/c_0)(\omega/\omega_n)]^2}} \tag{2F}$$

$$\tan \phi = \frac{2 (c/c_0)(\omega/\omega_n)}{1 - (\omega/\omega_n)^2} \tag{2G}$$
Amplitudes de oscilações forçadas e coeficientes de amortecimento
Fig 2-II

A Figura 2-II mostra as curvas aproximadas de ß em relação a ω para várias relações c/c0. Se c/c0 = 0, isto é, c = 0, não há amortecimento e a curva é semelhante à do tópico anterior (com exceção do sinal, pois aqui há uma raiz quadrada). À medida que c aumenta, a amplitude diminui. Isso significa que um maior amortecimento reduz a amplitude das oscilações forçadas. A redução também se consegue com frequências distantes da ressonância do conjunto.


3) Analogia Elétrica

(Topo | Fim pág)

No tópico Oscilações Livres Amortecidas foi dada a equivalência elétrica do movimento. A seguir, é repetida a tabela do citado tópico para as equivalências entre grandezas mecânicas e elétricas.

Sistema mecânico Circuito elétrico
x deslocamento Q carga elétrica
m massa L indutância
k constante da mola 1/C inverso de capacitância
v velocidade i corrente elétrica
F força V tensão elétrica
c coef de amortecimento R resistência elétrica

Nos sistemas mecânicos dos tópicos anteriores desta página, considera-se a aplicação de um movimento harmônico externo. Na analogia elétrica, é lógico supor a aplicação de uma tensão senoidal Vm sin ωt no circuito conforme figura a seguir.

Circuito RLC forçado
Fig 3-I

No sistema mecânico, a velocidade tangencial é igual ao deslocamento multiplicado pela velocidade angular, v = ω x. Assim, se a igualdade (2B) do tópico Oscilações Amortecidas Forçadas for multiplicada por ω, o resultado é a velocidade:

$$v = C \omega \sin(\omega t - \phi)$$
Na analogia elétrica, velocidade equivale a corrente. Assim o produto C ω deve ser a corrente máxima no circuito. Pode-se usar esse produto com valor de C dado em (2C) do citado tópico e substituir as grandezas pelas correspondentes elétricas.

$$i_m = C \omega = \frac{\omega O_m}{\sqrt{(k - m\omega^2)^2 + (c\omega)^2}}$$
$$i_m = \frac{\omega V_m}{\sqrt{(1/C - L\omega^2)^2 + (R\omega)^2}}$$
$$i_m = \frac{V_m}{\sqrt{(1/(\omega C) - \omega L)^2 + R^2}} = \frac{V_m}{Z} \tag{3A}$$

Z é denominado impedância do circuito.


4) Exemplo de Aplicação

(Topo | Fim pág)

Seja, conforme Figura 4-I (a), um motor montado sobre uma base apoiada por 4 molas. Os pinos de guia no interior das molas restringem o movimento vibratório do conjunto, isto é, ele só pode ser vertical. Consideram-se os seguintes valores hipotéticos:

• o conjunto motor e base tem uma massa de 200 kg.

• o motor gira com velocidade angular constante de 1800 rpm.

• o desbalanceamento do motor é equivalente à rotação, na mesma velocidade angular, de uma massa de 40 g situada a 10 cm do eixo de rotação.

• cada mola tem uma constante de 100 000 N/m.

Determinar a amplitude de vibração do conjunto bem como a rotação na qual a ressonância ocorre, supondo que as forças se distribuem igualmente pelas 4 molas.
Exemplo de cálculo de vibração mecânica
Fig 4-I

Em unidades SI, a velocidade angular do motor é ω ≈ 188,5 rad/s. Conforme (b) da figura, a rotação de uma massa m (= 40 g = 0,04 kg) com um raio R (= 10 cm = 0,1 m) produz uma força centrífuga Fc e a projeção sobre o eixo vertical (onde o movimento é permitido) é igual a Fc sin ωt, ou seja, um movimento harmônico simples.

O cálculo de Fc é dado pela relação da Dinâmica: Fc = m ω2 R. Assim,

Fc = 0,04 188,52 0,1 ≈ 142,1 N

Conforme tópico Molas em Paralelo e em Série, as 4 molas em paralelo têm uma constante equivalente a

k = 4 . 100 000 = 400 000 N/m

A velocidade angular natural de vibração do conjunto é dada por ωn = √ (k/m), segundo igualdade (1F) do tópico Conjunto Massa-Mola).

ωn = √ [400 000 (N/m) / 200 kg] ≈ 44,7 rad/s. Corresponde, portanto, a uma rotação de ≈ 427 rpm

Pode-se notar que o conjunto equivale à situação de vibração forçada em Vibrações Forçadas: Formulação Básica, Figura 1-I (c). E, usando a igualdade (1G) desse tópico,

$$C = \frac{O_m \big/ k}{1 - (\omega \big/ \omega_n)^2} = \frac{142,1 / 400000}{1 - (188,5/44,7)^2} \approx 0,000021 \ \text m = 0,021\ \text{mm}$$
Referências
BEER, P. Ferdinand. JOHNSTON, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HyperPhysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Fev/2008