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Vibrações Mecânicas 1-III

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Tópicos: Ressonância | Oscilações Amortecidas |

1) Ressonância

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No sistema massa-mola, a velocidade angular do vetor girante, conforme equação (1Q) do tópico correspondente, é dada por:

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \tag{1A}$$
Para o circuito elétrico,

$$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \tag{1B}$$
E a frequência, que equivale a ω/(2 π), é dada por:

$$f = \frac{\sqrt{k/m}}{2 \pi} \tag{1C}$$
Para o circuito elétrico,

$$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \tag{1D}$$
Nota-se que a frequência depende apenas de parâmetros do sistema (k e m para o mecânico e L e C para o elétrico). Assim, se eles são mantidos constantes, os sistemas oscilarão sempre nas mesmas frequências, independente das condições iniciais (deslocamento, velocidade inicial ou carga, corrente inicial). As fórmulas indicam, portanto, a frequência natural de oscilação, normalmente denominada frequência de ressonância.


2) Oscilações Amortecidas

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As equações para os conjuntos mecânico e elétrico vistas até aqui pressupõem condições ideais, isto é, o sistema mecânico está sob vácuo para evitar ação do ar e não há atrito interno no material da mola. No circuito LC, não há fugas de corrente nem resistência elétrica nos condutores. Nessas condições, as vibrações, uma vez iniciadas, mantém-se indefinidamente. Na prática isso não ocorre e pode ser observado num conjunto massa e mola, que para de oscilar depois de algum tempo. Num circuito elétrico LC, o comportamento só pode ser notado com instrumentos, mas é o mesmo. Isso significa que sempre há um agente de amortecimento. No conjunto mecânico, o atrito com ar e o atrito interno do material da mola. No circuito elétrico, resistências dos condutores e fugas de corrente.

Em vários casos práticos, um elemento de amortecimento é propositalmente inserido. O amortecedor hidráulico, aqui considerado, é um tipo comum, usado, por exemplo, em suspensões de automóveis. Um amortecedor hidráulico típico é formado por um cilindro com óleo e um êmbolo com furos, de forma que o escoamento do fluido exerce uma força contrária ao deslocamento e proporcional à velocidade.

A Figura 2-I (a) representa o conjunto na posição de equilíbrio e (b) indica uma posição genérica do movimento oscilatório. Assim, além das forças F e P, atua sobre o corpo a força D tal que:

$$D = c \ v \tag{2A}$$
c: coeficiente de amortecimento
v: velocidade

Exemplo para vibrações livres com amortecimento
Fig 2-I

E a igualdade (1D) do tópico Conjunto Massa-Mola pode ser escrita e reagrupada:

$$R = ma = m \frac{d^2x}{dt^2} = - kx - c \frac{dx}{dt} \tag{2B}$$
$$m \frac{d^2x}{dt^2} + c \frac{dx}{dt} + kx = 0 \tag{2C}$$
Essa equação diferencial tem solução na forma:

$$x = \mathrm e^{rt} \tag{2D}$$
Considerando que d(ert)/dt = r ert, se substituído x da igualdade (2C) e eliminado o fator comum ert,

$$m r^2 + c r + k = 0 \tag{2E}$$
Essa é uma equação simples de segundo grau, que tem as soluções:

$$r = -\frac{c}{2m} \pm \sqrt{\left(\frac{c}{2m}\right)^2-\frac{k}{m}} \tag{2F}$$
Considera-se c0 o valor de c que faz nula a segunda parcela dessa igualdade, isto é, (c0/2m)2 − k/m = 0. Reagrupando, c0 = 2 m (k/m)1/2. Usando a definição ω2 = k / m, vista no tópico Conjunto Massa-Mola,

$$c_0 = 2 m \omega \tag{2G}$$
Portanto, a solução de (2C) depende do valor de c em relação a c0:

a) Para c > c0, a relação (2F) tem duas raízes r1 e r2, reais e diferentes, e a solução de (2C) é dada por:

$$x = C_1 \mathrm e^{r_1 t} + C_2 \mathrm e^{r_2 t} \tag{2H}$$
O movimento não é oscilante, com uma curva parecida com a Figura 2-II (a), e o sistema é dito superamortecido.

b) Para c = c0, (2F) tem uma única raiz:

$$r = -\frac{c_0}{2m} = - \omega \tag{2I}$$
A solução de (2C) é dada por:

$$x = (C_1 + C_2 t) \mathrm e^{-\omega t} \tag{2J}$$
O movimento também não é oscilante, mas chega ao ponto de equilíbrio no menor tempo possível sem oscilar. Curva aproximada na Figura 2-II (b). Essa situação é denominada amortecimento crítico.

Condições teóricas de amortecimento
Fig 2-II

c) Para c < c0, (2F) tem raízes complexas:

$$r_{1,2} = -\frac{c}{2m} \pm \beta j \tag{2K}$$
Onde j é a unidade imaginária (√−1) e β é dado por:

$$\beta = \sqrt{\frac{k}{m} - \left(\frac{c}{2m}\right)^2} \tag{2L}$$
Consideram-se as igualdades já vistas, ω2 = k/m (Conjunto Massa-Mola) e 2m = c0, segundo (2G). Assim, o valor de β pode ser dado por:

$$\beta = \omega \sqrt{1 - (\frac{c}{c_0})^2} \tag{2M}$$
Então, a solução de (2C) é:

$$x = \mathrm e^{-\tfrac{c}{2m}t} (C_1 \cos \beta t + C_2 \sin \beta t) \tag{2N}$$
A soma de cosseno e seno pode ser simplificada de maneira análoga a (1H) do tópico Conjunto Massa-Mola:

$$x = A \ \mathrm e^{-\tfrac{c}{2m}t} \sin (\beta t + \phi) \tag{2O}$$
Por essa relação, deduz-se que o sistema oscila, mas a amplitude decresce exponencialmente com o tempo. Curva aproximada na Figura 2-II (c). Nessa condição, o sistema é dito subamortecido. Nota-se que a velocidade angular é β e não ω e que β < ω. Portanto, a frequência da oscilação (β/2π) é menor que a frequência natural do conjunto (ω/2π). A relação c/c0 da igualdade (2M) é denominada fator de amortecimento. Para um sistema não amortecido, c = 0 e, portanto, β = ω.

Circuito RLC
Fig 2-III

Na analogia elétrica, o conjunto massa, mola e amortecedor hidráulico equivale ao circuito LC do tópico Analogia Elétrica: Circuito LC acrescido de uma resistência elétrica R, conforme Figura 2-III. R é o fator de proporcionalidade entre corrente e tensão, similar ao c, que é a proporcionalidade entre força e velocidade. A solução para a equação diferencial é idêntica, bastando substituir os parâmetros e variáveis por seus equivalentes elétricos.

Sistema mecânico Circuito elétrico
x deslocamento Q carga elétrica
m massa L indutância
k constante da mola 1/C inverso de capacitância
v velocidade i corrente elétrica
F força V tensão elétrica
c coef de amortecimento R resistência elétrica

A tabela acima é a correspondência já vista entre grandezas mecânicas e elétricas, com a inclusão dos parâmetros coeficiente de amortecimento e resistência elétrica.
Referências
BEER, P. Ferdinand. JOHNSTON, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HyperPhysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Fev/2008