Anotações & Informações | Fim pág | Voltar |

Vibrações Mecânicas 1-II

| Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Tópicos: Molas em Paralelo e em Série | Analogia Elétrica: Circuito LC |

1) Molas em Paralelo e em Série

(Topo | Fim pág)

A Figura 1-I apresenta as duas situações de um corpo de peso P atuando sobre duas molas de constantes k1 e k2, em paralelo (A) e em série (B). Deseja-se saber as constantes equivalentes (isto é, as constantes de molas únicas que atuariam da mesma forma) para cada caso.

Molas em paralelo e em série
Fig 1-I

A) Molas em paralelo:

Para essa situação, é suposto que o corpo desliza entre guias sem atrito conforme desenho, para evitar inclinação e atuação de forças diferentes em cada mola. Portanto, na condição de equilíbrio, cada mola sofre a mesma deformação e, com forças iguais a P/2:

$$P = k_1 e + k_2 e = (k_1 + k_2) e = k\ e$$
Assim, a constante equivalente é:

$$k = k_1 + k_2 \tag{1A}$$
Essa fórmula pode ser estendida para um número qualquer de molas em paralelo.

B) Molas em série:

Supõe-se uma mola equivalente de constante k, com uma deformação e. Assim P = k e. Mas a deformação e é igual à soma das deformações de cada mola e1 e e2. Ou seja, P = k (e1 + e2). De outra forma, P/k = e1 + e2. Mas cada mola está sob ação da mesma força P. Portanto, P = k1 e1 = k2 e2. Separando as variáveis, tem-se e1 = P/k1 para a primeira e e2 = P/k2 para a segunda. Substituindo na igualdade anterior, P/k = P/k1 + P/k2. Simplificando,

$$\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \tag{1B}$$
De forma similar à anterior, a igualdade pode ser estendida para um número qualquer de molas em série.


2) Analogia Elétrica: Circuito LC

(Topo | Fim pág)

O conjunto massa e mola tem analogia com um circuito elétrico LC paralelo conforme Figura 2-I: supondo que, inicialmente, o capacitor tem uma certa carga elétrica, ela é descarregada através do indutor. Este último, por sua vez, gera uma corrente em sentido contrário que carrega o capacitor e o ciclo se repete. O desenvolvimento matemático supõe que sejam conhecidos alguns conceitos e fórmulas básicas.

Circuito LC
Fig 2-I

Aplicando a segunda lei de Kirchhoff ao circuito, VL + VC = 0. Usando as identidades elétricas,

$$- L \frac{di}{dt} - \frac{Q}{C} = 0$$
Substituindo i por dQ/dt e reagrupando,

$$\frac{d^2Q}{dt^2} + \frac{1}{LC} Q = 0$$
Seja agora a grandeza ω dada por:

$$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \tag{2A}$$
Substituindo,

$$\frac{d^2Q}{dt^2} + \omega^2 Q = 0 \tag{2B}$$
Essa é a mesma equação diferencial do conjunto massa-mola já visto, mudando apenas o nome da variável x para Q. Portanto, a oscilação do circuito elétrico LC é matematicamente similar à oscilação do sistema massa e mola. E a solução da equação diferencial é também a mesma:

$$Q = Q_{max} \sin (\omega t + \phi) \tag{2C}$$
Onde Qmax é o valor absoluto da máxima carga no capacitor, equivalente à amplitude (deslocamento máximo) do sistema mecânico. A corrente pode ser obtida com o uso da relação i = dQ/dt. Portanto, i = Qmax ω cos (ωt + φ). De outra forma,

$$i = i_p \cos (\omega t + \phi) \tag{2D}$$
Em eletricidade é comum o uso da notação ip, corrente de pico, no lugar de corrente máxima. A tensão no capacitor é VC = Q / C, de acordo com relações da eletricidade. Dividindo ambos os lados de (2C) por C,

$$V = V_p \sin (\omega t + \phi) \tag{2E}$$
Essa fórmula usa a notação Vp, tensão de pico = Qmax / C, no lugar de tensão máxima, de forma similar à anterior.

Sistema mecânico Circuito elétrico
x deslocamento Q carga elétrica
m massa L indutância
k constante da mola 1/C inverso de capacitância
v velocidade i corrente elétrica
F força V tensão elétrica

A tabela acima dá as correspondências entre grandezas mecânicas e elétricas de ambos os sistemas. A dedução é simples, bastando observar as similaridades entre as equações deste tópico e as do tópico Conjunto Massa-Mola. Talvez a menos visível seja a relação entre força e tensão elétrica: considera-se a igualdade (1A) do referido tópico: P = k e (no lugar de P, pode ser o símbolo F). Mas k corresponde a 1/C do elétrico e e (= x, deslocamento), a Q (carga elétrica). Assim F corresponde a Q/C, que é tensão elétrica segundo relação da eletricidade.

De forma idêntica, as variações de carga elétrica e de outras grandezas (corrente, tensão) podem ser representadas pela projeção de um vetor girante de velocidade angular ω e gráfico senoidal conforme já visto para o conjunto mecânico. A velocidade angular ω, o período P e a frequência f têm as mesmas relações do movimento mecânico.
Referências
BEER, P. Ferdinand. JOHNSTON, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HyperPhysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Fev/2008