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Vibrações Mecânicas 1-I

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Tópicos: Conjunto Massa-Mola |

1) Conjunto Massa-Mola

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Na Figura 1-I, a mola é supostamente ideal, isto é, peso próprio nulo, sem atritos e deformação proporcional à força aplicada. O deslocamento vertical é indicado pela coordenada x. Na situação de equilíbrio estático, um peso na extremidade móvel da mola produz uma deformação tal que:

$$P = ke \tag{1A}$$
P: peso do corpo
k: constante da mola
e: deformação longitudinal

Esse conjunto pode oscilar como a prática demonstra. Se o corpo é levado até um ponto +A e liberado, ele executa um movimento oscilante, teoricamente entre os pontos +A e −A (o mesmo efeito será obtido se, a partir da posição de equilíbrio, for dada ao corpo uma velocidade inicial). Considera-se a origem 0 no ponto de equilíbrio.

Sistema massa / mola
Fig 1-I

Em uma posição genérica como 3 da Figura 1-I, as forças atuantes sobre o corpo são o seu peso P e a força F exercida pela mola, que é igual ao produto da constante k pelo deslocamento:

$$F = k(e + x) \tag{1B}$$
Considerando (1A), a resultante é dada por:

$$R = P - F = ke - k(e + x) = -kx \tag{1C}$$
Conforme segunda lei de Newton, R deve ser igual ao produto da massa m do corpo pela sua aceleração. Esta última é igual à derivada de segunda ordem da distância x em relação ao tempo. Assim:

$$R = ma = m \frac{d^2x}{dt^2} = - kx \tag{1D}$$
$$m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0 \tag{1E}$$
m: massa do corpo
x: deslocamento em relação à origem
t: tempo
k: constante da mola

Seja uma grandeza ω tal que:

$$\omega^2 = \frac{k}{m} \tag{1F}$$
Então, a igualdade (1E) pode ser escrita:

$$\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0 \tag{1G}$$
Movimento harmônico simples é o nome dado ao movimento definido por essa equação. Nota-se que a aceleração é proporcional ao deslocamento e tem direção oposta. Omitindo o desenvolvimento, a solução para essa equação diferencial é:

$$x = C_1 \cos \omega t + C_2 \sin \omega t \tag{1H}$$
C1 e C2 são constantes que dependem das condições iniciais do movimento. Aplicando identidades trigonométricas, a solução pode ser apresentada na forma:

$$x = r \sin (\omega t + \phi) \tag{1I}$$
Onde:

$$r = \sqrt{C_1^2 + C_2^2} \\ \phi = \mathrm{atan} ( C_2 \big / C_1 ) \tag{1J}$$
Derivando (1H) para obter a velocidade,

$$v = dx\big/dt = - C_1 \omega \sin \omega t + C_2 \omega \cos \omega t$$
Se, nessa igualdade, for considerado t = 0, a velocidade v será a velocidade inicial v0. Assim,

$$C_2 = v_0 \big / \omega \tag{1K}$$
De forma similar, considerando t = 0 em (1H), obtém-se a outra constante em termos do deslocamento inicial x0:

$$C_1 = x_0 \tag{1L}$$
Voltando a (1I), nota-se que r é o deslocamento máximo porque o maior valor absoluto da função seno é 1. Assim, ele corresponde à amplitude A da oscilação:

$$x = A \sin (\omega t + \phi) \tag{1M}$$
O movimento harmônico simples pode ser representado pela projeção vertical de um vetor de módulo r = A que gira em torno de sua origem com uma velocidade angular constante ω. Na figura a seguir, a equivalência entre essa representação e o gráfico da função senoidal da igualdade (1M).

Velocidade angular no movimento harmônico simples
Fig 1-II

O ângulo ϕ é denominado ângulo de fase e indica o deslocamento angular inicial (para t = 0) do vetor girante. Velocidade e aceleração são dadas por:

$$v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi) \\ a = \frac{dv}{dt} = - A \omega^2 \sin (\omega t + \phi) \tag{1N}$$
Período P do movimento harmônico é definido pelo tempo necessário para uma rotação completa do vetor girante (ou um ciclo completo da senoide). Desde que velocidade angular é a relação entre deslocamento angular e tempo, para um período esse ângulo deve ser 2 π. Assim, ω = 2 π / P ou:

$$P = \frac{2 \pi}{\omega} \tag{1O}$$
Frequência f é o número de períodos por unidade de tempo ou:

$$f = \frac{1}{P} = \frac{\omega}{2 \pi} \tag{1P}$$
De (1F), a velocidade angular é dada por:

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \tag{1Q}$$
Deduz-se então que o período (e, por consequência, a frequência) só dependem da constante da mola e da massa.
Referências
BEER, P. Ferdinand. JOHNSTON, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HyperPhysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Fev/2008