Anotações & Informações | Índice | Fim pág | Voltar |


Matrizes IV

| Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Tópicos: Determinando a Matriz Inversa | Sistema de Equações Lineares |


1) Determinando a Matriz Inversa

(Topo | Fim pág)

Neste tópico são dados os passos para a determinação da matriz inversa pelo método de Gauss-Jordan. Seja o exemplo da matriz A abaixo, à qual se junta uma matriz unitária I de mesma dimensão.

$$\overbrace{\begin{matrix} 2&1&1\\1&1&1\\2&3&2\end{matrix}}^A\qquad \overbrace{\begin{matrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}^I \tag{1A}$$
O objetivo é somar ou subtrair linhas multiplicadas por escalares de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo. Esses escalares não são elementos da matriz. Devem ser escolhidos de acordo com o resultado desejado.

1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por −1

Com essa operação, consegue-se 1 no elemento 11 (primeira linha, primeira coluna) da matriz esquerda.

$$\begin{matrix}1&0&0\\1&1&1\\2&3&2\end{matrix}\qquad\begin{matrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix} \tag{1B}$$

Os elementos 12 e 13 tornaram-se nulos, mas é apenas uma coincidência. Em geral isso não ocorre logo na primeira operação. Agora,

2ª linha = 2ª linha + 1ª linha multiplicada por −1
3ª linha = 3ª linha + 1ª linha multiplicada por −2


$$\begin{matrix}1&0&0\\0&1&1\\0&3&2\end{matrix}\qquad\begin{matrix}1&-1&0\\-1&2&0\\-2&2&1\end{matrix} \tag{1C}$$

Com as operações acima, os elementos 21 e 22 tornaram-se nulos, formando a primeira coluna da matriz unitária. Agora,

3ª linha = 3ª linha + 2ª linha multiplicada por −3

Essa operação forma a segunda coluna da matriz identidade:

$$\begin{matrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&-1\end{matrix}\qquad\begin{matrix}1&-1&0\\-1&2&0\\1&-4&1\end{matrix} \tag{1D}$$

3ª linha = 3ª linha multiplicada por −1

Multiplicação executada para fazer 1 no elemento 33 da matriz esquerda.

$$\begin{matrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{matrix}\qquad\begin{matrix}1&-1&0\\-1&2&0\\-1&4&-1\end{matrix} \tag{1E}$$

2ª linha = 2ª linha + 3ª linha multiplicada por −1

Essa operação forma a terceira e última coluna da desejada matriz identidade no lado esquerdo, obtendo-se a matriz inversa na parte da direita:

$$\overbrace{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}^I\qquad\overbrace{\begin{matrix}1&-1&0\\0&-2&1\\-1&4&-1\end{matrix}}^{A^{-1}} \tag{1F}$$

Há outros métodos para a finalidade. Para matrizes 2×2, uma fórmula rápida é dada a seguir (det = determinante).

$$A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\quad A^{-1}={1 \over \operatorname{det} A}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix} \tag{1G}$$


2) Sistema de Equações Lineares

(Topo | Fim pág)

O método anterior pode ser usado para resolver. Nesse caso, a matriz inicial é a matriz dos coeficientes e a matriz a acrescentar é a matriz dos termos independentes (de uma coluna). Seja o exemplo a seguir.

$$\begin{array}{c}2x-5y+4z=-3\\x-2y+z=5\\x-4y+6z=10\end{array} \tag{2A}$$
Monta-se a matriz:

$$\begin{matrix}2&-5&4\\1&-2&1\\1&-4&6\end{matrix}\qquad\begin{matrix}-3\\5\\10\end{matrix} \tag{2B}$$
Usando procedimento similar ao anterior, obtém-se a matriz unitária no lado esquerdo:

$$\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\qquad\begin{matrix}124\\75\\31\end{matrix} \tag{2C}$$
A solução do sistema é   x = 124   y = 75   z = 31
Referências
Bouché, Ch; Leitner, A; Sass, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Simmons, H. A. College Algebra. New York: Macmillan.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008